Obtenha o equivalente de Norton nos terminais ab:
(Questão 33 - Sadiku 5th ed. - CAP4) Determine o equivalente de Norton e de Thevenin nos terminais a-b

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o equivalente de Norton nos terminais a- b.
  • (O enunciado também pede o equivalente de Thevenin; vamos dar ambos, pois são relacionados.)
Informações relevantes extraídas do enunciado/figura:
  • Há três fontes independentes de \,12\\ \text{V}\,.
  • Há resistores: dois de \,2\\ \Omega nas extremidades verticais (um na via esquerda para o retorno ao terra e outro na via direita), um resistor \,2\\ \Omega na parte superior (entre os nós superiores esquerdo e direito), três resistores de \,6\\ \Omega formando uma malha central (dois de cima para o nó central e um do nó central para a parte inferior da fonte central).
  • A fonte central de \,12\\ \text{V} tem o terminal positivo ligado ao barramento inferior (terminal b / terra) e o negativo para cima (ou seja, o ponto acima da fonte central está a -12\\ \text{V} se o terra for 0).
  • Os terminais a (no topo à direita) e b (barramento inferior/terra) são os terminais onde devemos obter o equivalente.
  • Todos os valores numéricos de resistores e tensões mencionados acima foram extraídos da figura.

Passo 2

Estratégia de solução (sem começar a calcular ainda):
  • Para obter o equivalente de Norton entre a e b precisamos de:
    1. a resistência equivalente vista pelos terminais com todas as fontes independentes “desligadas” (fontes de tensão substituídas por curtos) — essa resistência é R_{th} (mesma que R_N);
    2. a corrente de curto-circuito entre a e b (ou alternativamente I_N = V_{th}/R_{th} se já conhecermos V_{th} e R_{th}).
  • Para obter V_{th} (Thevenin) vamos calcular a tensão aberta entre a e b com os terminais ab abertos (corrente externa zero). Com V_{th} e R_{th} obtemos I_N=V_{th}/R_{th}.
  • Vou usar análise nodal (KCL) porque o circuito tem vários nós e fontes de tensão em série com resistores; a análise nodal é direta e sistemática. Explicarei cada etapa da nodal.

Passo 3

Definição dos nós e relações úteis:
  • Tomar o barramento inferior como referência: b\equiv 0\\ \text{V}.
  • Nomear os nós superiores:
    • V_L = tensão no nó superior esquerdo (topo da fonte esquerda, nó superior à esquerda do resistor de 2\\ \Omega superior).
    • V_R = tensão no nó superior direito ( = tensão no terminal a).
    • V_m = tensão do nó central (ponto entre os dois resistores de 6\\ \Omega superiores e o resistor de 6\\ \Omega que desce para a fonte central).
  • Relações impostas pelas fontes (extraídas da figura):
    • A fonte central tem o polo positivo ligado ao terra, portanto a sua placa superior (o nó à qual o resistor 6\\ \Omega inferior liga) é -12\\ \text{V}. Vou chamar esse nó de V_c e já temos V_c = -12\\ \text{V}.
    • As fontes esquerda e direita impõem V_L - V_{xL} = 12\\ \text{V} e V_R - V_{xR} = 12\\ \text{V}, onde V_{xL} e V_{xR} são as tensões nas junções entre cada fonte lateral e o resistor 2\\ \Omega que vai ao terra. Esses nós V_{xL},V_{xR} estão ligados aos resistores de 2\\ \Omega para o terra, portanto as correntes através dessas ramificações são \dfrac{V_{xL}}{2} e \dfrac{V_{xR}}{2}.
  • Observação: pela simetria do circuito (mesmas fontes e resistores à esquerda e à direita) espera-se V_L=V_R quando o circuito estiver em circuito aberto nos terminais (situação para calcular V_{th}). A simetria facilita as contas; vou usar isso para simplificar.

Passo 4

Cálculo da tensão aberta V_{th} (tensão em a com a- b abertos):
  • Escrever KCL no nó superior esquerdo V_L. A soma das correntes saindo de V_L é zero:
    • corrente V_L para V_R pelo resistor de 2\\ \Omega: \dfrac{V_L - V_R}{2},
    • corrente V_L para V_m pelo resistor de 6\\ \Omega: \dfrac{V_L - V_m}{6},
    • corrente saindo de V_L através da fonte esquerda e do resistor de 2\\ \Omega para o terra: essa corrente vale \dfrac{V_{xL}}{2}. Como V_{xL}=V_L-12 (pois a fonte impõe V_L - V_{xL}=12), essa corrente é \dfrac{V_L-12}{2}.
      Logo a equação KCL em V_L é:
    \frac{V_L - V_R}{2} + \frac{V_L - V_m}{6} + \frac{V_L - 12}{2} = 0.
  • Pela mesma razão (simetria), a equação em V_R é análoga: \frac{V_R - V_L}{2} + \frac{V_R - V_m}{6} + \frac{V_R - 12}{2} = 0.
  • KCL no nó central V_m (somando correntes para fora de V_m): \frac{V_m - V_L}{6} + \frac{V_m - V_R}{6} + \frac{V_m - V_c}{6} = 0.Multiplicando por 6 e lembrando V_c=-12: (V_m - V_L) + (V_m - V_R) + (V_m - (-12)) = 0que simplifica para 3V_m - V_L - V_R + 12 = 0\quad\Rightarrow\quad 3V_m = V_L + V_R - 12.
  • Pela simetria das fontes e resistores à esquerda e à direita, para a situação de circuito aberto espera-se V_L=V_R. Definimos então V_L=V_R\equiv V_t. Aplicando isso nas equações:
    • A equação de V_L com V_L=V_R=V_t reduz-se a:
    \frac{V_t - V_t}{2} + \frac{V_t - V_m}{6} + \frac{V_t - 12}{2} = 0
\Rightarrow \frac{V_t - V_m}{6} + \frac{V_t - 12}{2} = 0.
Multiplicando por 6:
(V_t - V_m) + 3(V_t - 12) = 0 \quad\Rightarrow\quad 4V_t - V_m = 36.
  • A equação do nó central com V_L=V_R=V_t é:
3V_m = V_t + V_t - 12 = 2V_t - 12 \quad\Rightarrow\quad V_m = \frac{2V_t - 12}{3}.
  • Substituir V_m na equação 4V_t - V_m = 36: 4V_t - \frac{2V_t - 12}{3} = 36.Multiplicando por 3: 12V_t - (2V_t - 12) = 108 \quad\Rightarrow\quad 12V_t - 2V_t + 12 = 108.
10V_t + 12 = 108 \quad\Rightarrow\quad 10V_t = 96 \quad\Rightarrow\quad V_t = 9{,}6\\ \text{V}.
  • Portanto a tensão em a com o circuito aberto (tensão de Thevenin) é V_{th}=V_R = 9{,}6\\ \text{V}.

Passo 5

Cálculo da resistência de Thevenin R_{th} (resistência vista por a- b com as fontes independentes desativadas):
  • Regras: substituir cada fonte de tensão independente por um curto (liga seus terminais).
    • As fontes laterais ficam como curto-circuitos entre os seus terminais; isso faz com que os nós superiores V_L e V_R fiquem cada um ligados a um resistor de 2\\ \Omega até o terra (pois o curto coloca o nó da fonte diretamente em cima do resistor 2\\ \Omega que vai ao terra).
    • A fonte central também vira curto, então o ponto que estava em V_c fica igual a terra (zero) e o resistor 6\\ \Omega inferior do nó central vai diretamente ao terra.
  • Para encontrar R_{th} aplico uma tensão de teste V_{test} no terminal a (nó V_R) com b à terra e calculo a corrente resultante I_{test}. Então R_{th} = \dfrac{V_{test}}{I_{test}}.
  • Montar equações nodais com fontes deslocadas (agora todas as fontes são curtos). Usamos os mesmos nós V_L,V_R,V_m mas agora as equações de KCL mudam porque V_c=0 e as fontes laterais estão curtas (cada nó superior está ligado a um resistor 2\\ \Omega direto ao terra).
  • KCL no nó V_L (sem injeção externa): \frac{V_L - V_R}{2} + \frac{V_L - V_m}{6} + \frac{V_L - 0}{2} = 0.
  • KCL no nó V_R (com injeção I_{test} proveniente de V_{test}): I_{test} = \frac{V_R - V_L}{2} + \frac{V_R - V_m}{6} + \frac{V_R - 0}{2}.
  • KCL no nó V_m (agora V_c=0): \frac{V_m - V_L}{6} + \frac{V_m - V_R}{6} + \frac{V_m - 0}{6} = 0.Multiplicando por 6 obtemos: 3V_m - V_L - V_R = 0 \quad\Rightarrow\quad V_m = \frac{V_L + V_R}{3}.
  • Resolver o sistema com método algébrico. Primeiro manipule a equação do nó V_L: multiplicando por 6, 3(V_L - V_R) + (V_L - V_m) + 3V_L = 0 \quad\Rightarrow\quad 7V_L - 3V_R - V_m = 0.Substituir V_m=\dfrac{V_L+V_R}{3}: 7V_L - 3V_R - \frac{V_L+V_R}{3} = 0.Multiplicando por 3: 21V_L - 9V_R - V_L - V_R = 0 \quad\Rightarrow\quad 20V_L - 10V_R = 0,
\Rightarrow V_L = \frac{1}{2} V_R.
  • Então V_m = \dfrac{V_L + V_R}{3} = \dfrac{0{,}5V_R + V_R}{3} = 0{,}5 V_R.
  • Agora a corrente de teste I_{test} (KCL no nó V_R): I_{test} = \frac{V_R - V_L}{2} + \frac{V_R - V_m}{6} + \frac{V_R}{2}.Substituindo V_L = 0{,}5V_R e V_m = 0{,}5V_R: I_{test} = \frac{V_R - 0{,}5V_R}{2} + \frac{V_R - 0{,}5V_R}{6} + \frac{V_R}{2} = \frac{0{,}5V_R}{2} + \frac{0{,}5V_R}{6} + \frac{V_R}{2}.Calcular coeficientes: \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25,\quad \frac{0{,}5}{6} \approx 0{,}083333,\quad \frac{1}{2}=0{,}5.Somando: I_{test} = \left(0{,}25 + 0{,}083333\dots + 0{,}5\right) V_R = \frac{5}{6} V_R.(pois 0{,}25+0{,}083333+0{,}5=0{,}833333\ldots=\dfrac{5}{6}).
  • Assim I_{test} = \dfrac{5}{6}V_R. Tomando V_R=V_{test}, a resistência equivalente é: R_{th} = \frac{V_{test}}{I_{test}} = \frac{V_R}{(5/6)V_R} = \frac{6}{5} = 1{,}2\\ \Omega.

Passo 6

Cálculo da corrente de Norton I_N:
  • Podemos usar I_N = \dfrac{V_{th}}{R_{th}}.
  • Substituindo os valores encontrados: I_N = \frac{9{,}6\\ \text{V}}{1{,}2\\ \Omega} = 8{,}0\\ \text{A}.

Passo 7

Resumo e interpretação:
  • O equivalente de Thevenin visto pelos terminais a- b é uma fonte de tensão V_{th}=9{,}6\\ \text{V} em série com R_{th}=1{,}2\\ \Omega.
  • O equivalente de Norton visto pelos terminais a- b é uma fonte de corrente I_N=8{,}0\\ \text{A} em paralelo com R_N=1{,}2\\ \Omega. (Note que R_N=R_{th}.)

Resposta

V_{th}=9{,}6\\ \text{V},\quad R_{th}=1{,}2\\ \Omega
I_{N}=8{,}0\\ \text{A},\quad R_{N}=1{,}2\\ \Omega

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