Obtenha o equivalente de Norton nos terminais ab:
(Questão 33 - Sadiku 5th ed. - CAP4) Determine o equivalente de Norton e de Thevenin nos terminais
(Questão 33 - Sadiku 5th ed. - CAP4) Determine o equivalente de Norton e de Thevenin nos terminais
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o equivalente de Norton nos terminais
- . - (O enunciado também pede o equivalente de Thevenin; vamos dar ambos, pois são relacionados.)
Informações relevantes extraídas do enunciado/figura:
- Há três fontes independentes de
. - Há resistores: dois de
nas extremidades verticais (um na via esquerda para o retorno ao terra e outro na via direita), um resistor na parte superior (entre os nós superiores esquerdo e direito), três resistores de formando uma malha central (dois de cima para o nó central e um do nó central para a parte inferior da fonte central). - A fonte central de
tem o terminal positivo ligado ao barramento inferior (terminal / terra) e o negativo para cima (ou seja, o ponto acima da fonte central está a se o terra for ). - Os terminais
(no topo à direita) e (barramento inferior/terra) são os terminais onde devemos obter o equivalente. - Todos os valores numéricos de resistores e tensões mencionados acima foram extraídos da figura.
Passo 2
Estratégia de solução (sem começar a calcular ainda):
- Para obter o equivalente de Norton entre
e precisamos de: - a resistência equivalente vista pelos terminais com todas as fontes independentes “desligadas” (fontes de tensão substituídas por curtos) — essa resistência é
(mesma que ); - a corrente de curto-circuito entre
e (ou alternativamente se já conhecermos e ).
- a resistência equivalente vista pelos terminais com todas as fontes independentes “desligadas” (fontes de tensão substituídas por curtos) — essa resistência é
- Para obter
(Thevenin) vamos calcular a tensão aberta entre e com os terminais ab abertos (corrente externa zero). Com e obtemos . - Vou usar análise nodal (KCL) porque o circuito tem vários nós e fontes de tensão em série com resistores; a análise nodal é direta e sistemática. Explicarei cada etapa da nodal.
Passo 3
Definição dos nós e relações úteis:
- Tomar o barramento inferior como referência:
. - Nomear os nós superiores:
-
= tensão no nó superior esquerdo (topo da fonte esquerda, nó superior à esquerda do resistor de superior). -
= tensão no nó superior direito ( tensão no terminal ). -
= tensão do nó central (ponto entre os dois resistores de superiores e o resistor de que desce para a fonte central).
-
- Relações impostas pelas fontes (extraídas da figura):
- A fonte central tem o polo positivo ligado ao terra, portanto a sua placa superior (o nó à qual o resistor
inferior liga) é . Vou chamar esse nó de e já temos . - As fontes esquerda e direita impõem
e , onde e são as tensões nas junções entre cada fonte lateral e o resistor que vai ao terra. Esses nós estão ligados aos resistores de para o terra, portanto as correntes através dessas ramificações são e .
- A fonte central tem o polo positivo ligado ao terra, portanto a sua placa superior (o nó à qual o resistor
- Observação: pela simetria do circuito (mesmas fontes e resistores à esquerda e à direita) espera-se
quando o circuito estiver em circuito aberto nos terminais (situação para calcular ). A simetria facilita as contas; vou usar isso para simplificar.
Passo 4
Cálculo da tensão aberta
(tensão em
com
-
abertos):
- Escrever KCL no nó superior esquerdo
. A soma das correntes saindo de é zero: - corrente
para pelo resistor de : , - corrente
para pelo resistor de : , - corrente saindo de
através da fonte esquerda e do resistor de para o terra: essa corrente vale . Como (pois a fonte impõe ), essa corrente é .
Logo a equação KCL emé:
- corrente
- Pela mesma razão (simetria), a equação em
é análoga: - KCL no nó central
(somando correntes para fora de ): Multiplicando por e lembrando : que simplifica para - Pela simetria das fontes e resistores à esquerda e à direita, para a situação de circuito aberto espera-se
. Definimos então . Aplicando isso nas equações: - A equação de
com reduz-se a:
- A equação de
Multiplicando por
:
- A equação do nó central com
é:
- Substituir
na equação : Multiplicando por :
- Portanto a tensão em
com o circuito aberto (tensão de Thevenin) é
Passo 5
Cálculo da resistência de Thevenin
(resistência vista por
-
com as fontes independentes desativadas):
- Regras: substituir cada fonte de tensão independente por um curto (liga seus terminais).
- As fontes laterais ficam como curto-circuitos entre os seus terminais; isso faz com que os nós superiores
e fiquem cada um ligados a um resistor de até o terra (pois o curto coloca o nó da fonte diretamente em cima do resistor que vai ao terra). - A fonte central também vira curto, então o ponto que estava em
fica igual a terra (zero) e o resistor inferior do nó central vai diretamente ao terra.
- As fontes laterais ficam como curto-circuitos entre os seus terminais; isso faz com que os nós superiores
- Para encontrar
aplico uma tensão de teste no terminal (nó ) com à terra e calculo a corrente resultante . Então . - Montar equações nodais com fontes deslocadas (agora todas as fontes são curtos). Usamos os mesmos nós
mas agora as equações de KCL mudam porque e as fontes laterais estão curtas (cada nó superior está ligado a um resistor direto ao terra). - KCL no nó
(sem injeção externa): - KCL no nó
(com injeção proveniente de ): - KCL no nó
(agora ): Multiplicando por obtemos: - Resolver o sistema com método algébrico. Primeiro manipule a equação do nó
: multiplicando por , Substituir : Multiplicando por :
- Então
. - Agora a corrente de teste
(KCL no nó ): Substituindo e : Calcular coeficientes: Somando: (pois ). - Assim
. Tomando , a resistência equivalente é:
Passo 6
Cálculo da corrente de Norton
:
- Podemos usar
. - Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
Resumo e interpretação:
- O equivalente de Thevenin visto pelos terminais
- é uma fonte de tensão em série com . - O equivalente de Norton visto pelos terminais
- é uma fonte de corrente em paralelo com . (Note que .)