QUESTÃO 1(1,5 p) : Uma pessoa morava em uma cidade onde a tensão elétrica era de 220 V . Ela se muda para outra cidade onde a tensão é de 110 V . Para manter a potência do seu chuveiro elétrico original, a resistência elétrica do chuveiro precisará ser aumentada ou diminuida? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Tensão elétrica original: V_1=220\\ \mathrm{V}.
  • Tensão elétrica da nova cidade: V_2=110\\ \mathrm{V}.
  • Deseja-se manter a mesma potência do chuveiro (mesma potência elétrica P) ao mudar de V_1 para V_2.
    Pergunta: a resistência elétrica do chuveiro precisará ser aumentada ou diminuída para que a potência continue igual? Justificar.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas que ligam tensão, corrente, resistência e potência para uma resistência ôhmica (chuveiro idealizado como um resistor):
  • Lei de Ohm: I=\frac{V}{R}.Aqui I é a corrente em ampères, V é a tensão em volts e R é a resistência em ohms.
  • Potência elétrica (para um elemento resistivo): P=V\cdot I.Aqui P é a potência em watts.
Substituindo I da lei de Ohm na expressão da potência obtemos uma forma útil: P=\frac{V^2}{R}.
Expliquei cada variável: P potência, V tensão aplicada, R resistência. Essa fórmula diz que, para um resistor submetido a uma tensão V, a potência dissipada cresce com V^2 e diminui quando R aumenta.

Passo 3

Como queremos manter a mesma potência P antes e depois da mudança de cidade, escrevemos a potência nas duas situações e igualamos:
\frac{V_1^2}{R_1}=P=\frac{V_2^2}{R_2}.
Aqui R_1 é a resistência original do chuveiro (quando ligado a V_1) e R_2 é a resistência necessária para obter a mesma potência ligada a V_2.

Passo 4

Isolando R_2 na igualdade acima:
\frac{V_1^2}{R_1}=\frac{V_2^2}{R_2} \quad\Rightarrow\quad R_2 = R_1\cdot\frac{V_2^2}{V_1^2}=R_1\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\!2}.

Passo 5

Agora substituímos os valores dados para as tensões:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{110}{220}=\frac{1}{2}.
Elevando ao quadrado:
\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\!2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\!2}=\frac{1}{4}.
Portanto
R_2 = R_1\cdot\frac{1}{4}=\frac{R_1}{4}.

Passo 6

Interpretação: para manter a mesma potência com a tensão reduzida para a metade, a resistência precisa ser reduzida — no caso, reduzida a um quarto do valor original. Uma maneira intuitiva de ver isso: se a tensão cai, a corrente que atravessa a mesma resistência também cai (pela lei de Ohm), então a potência P=V\!I cairia; para compensar essa queda e manter P constante é preciso aumentar a corrente I, e para aumentar I com a mesma tensão menor é preciso diminuir R.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (exemplo prático):
Suponha R_1=22\\ \Omega. A potência original é
P=\frac{V_1^2}{R_1}=\frac{220^2}{22}=2200\\ \mathrm{W}.
Com V_2=110\\ \mathrm{V} e querendo os mesmos 2200\\ \mathrm{W}, a resistência necessária é
R_2=\frac{V_2^2}{P}=\frac{110^2}{2200}=5{,}5\\ \Omega,
que é exatamente \dfrac{22}{4}=5{,}5\\ \Omega. Ou seja, reduziu-se para um quarto.

Passo 8

Observação prática (não exige cálculo): reduzir a resistência do elemento de aquecimento significa trocar o elemento por outro com menor resistência (ou reconfigurar conexões). Nem sempre é prático ou seguro alterar o chuveiro — o procedimento adequado é usar um chuveiro projetado para a tensão da rede ou trocar o elemento por um específico para 110\\ \mathrm{V}.

Resposta

Diminuída — a nova resistência deve ser R_2=\dfrac{R_1}{4}.

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