7.5 Um retificador de três-pulsos alimenta uma carga resistiva de 10 \Omega a partir de uma fonte de 220 V . Determine:
a) a tensào média na carga
b) a corrente média na carga
c) a corrente máxima na carga
d) o valor nominal da PIV do diodo
e) a corrente máxima no diodo
f) a potência média na carga

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com clareza para a gente não se perder):
  • Retificador de três-pulsos alimenta uma carga resistiva R=10\\ \Omega.
  • Fonte de alimentação informada: 220\\ \text{V}.
  • O enunciado pede:
    (a) a tensão média na carga;
    (b) a corrente média na carga;
    (c) a corrente máxima na carga;
    (d) o valor nominal da PIV do diodo;
    (e) a corrente máxima no diodo;
    (f) a potência média na carga.
Observação importante (assunção necessária): vou assumir que o enunciado se refere a um retificador trifásico de meia-onda (retificador de 3 pulsos, com três diodos, cada diodo conduz 120°) e que a tensão 220\\ \text{V} é a tensão entre fases (tensão de linha, também chamada V_{LL,\text{rms}}). Essa é uma interpretação comum em problemas deste tipo. Se a intenção fosse outra (por exemplo 220\\ \text{V} como tensão de fase), os números mudariam; como não posso pedir esclarecimento, sigo essa hipótese.

Passo 2

Entendendo as tensões da fonte e como obter o pico de cada fase (essencial para todos os cálculos):
  • Se V_{LL,\text{rms}} é a tensão entre fases (linha a linha), a tensão de fase eficaz (linha a neutro) vale
V_{ph,\text{rms}}=\frac{V_{LL,\text{rms}}}{\sqrt{3}}.
Aqui V_{LL,\text{rms}}=220\\ \text{V}, logo
V_{ph,\text{rms}}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
  • O pico (amplitude) da tensão de fase (a forma senoidal tem pico \sqrt{2} vezes a eficaz) é
V_m=\sqrt{2}\,V_{ph,\text{rms}}.
Explicação didática rápida: uma senoide v(t)=V_m\sin(\omega t) tem valor rms V_m/\sqrt{2}. Invertendo, V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}. Aqui usamos isso para cada fase.
Vou calcular numericamente estes valores agora:
V_{ph,\text{rms}}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}\approx127{,}02\\ \text{V},
V_m=\sqrt{2}\cdot127{,}02\\ \text{V}\approx179{,}61\\ \text{V}.

Passo 3

Derivação da tensão média (valor médio) na carga para o retificador trifásico de meia-onda:
  • Conceito: no retificador de três-pulsos (meia-onda trifásica com carga resistiva e diodos ideais), a cada intervalo de 120^\circ (ou 2\pi/3 rad) uma das fases fornece a tensão ao load; o waveform de saída é sempre a fase de maior tensão instantânea. Pela simetria, podemos integrar em um intervalo de comprimento 2\pi/3 e multiplicar por 3, ou escrever diretamente a média sobre um período 2\pi.
  • Tomando a fase que conduz centrada no seu pico e usando a variável \varphi centrada no pico dessa fase, a tensão de saída nessa janela vale v_o(\varphi)=V_m\cos\varphi para \varphi\in[-\pi/3,\pi/3] (comprimento 2\pi/3). A média no período é então:
V_{dc}=\frac{1}{2\pi}\cdot 3\int_{-\pi/3}^{\pi/3} V_m\cos\varphi\,d\varphi.
  • Calcule a integral: \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\varphi\,d\varphi = [\sin\varphi]_{-\pi/3}^{\pi/3}=\sin(\pi/3)-\sin(-\pi/3)=\sqrt{3}/2-(-\sqrt{3}/2)=\sqrt{3}.
  • Substituindo:
V_{dc}=\frac{3V_m}{2\pi}\,\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}\,V_m}{2\pi}.
  • Em termos de V_{ph,\text{rms}} (usando V_m=\sqrt{2}\,V_{ph,\text{rms}}):
V_{dc}=\frac{3\sqrt{3}\,\sqrt{2}}{2\pi}\;V_{ph,\text{rms}}=\frac{3\sqrt{6}}{2\pi}\;V_{ph,\text{rms}}.
Comentário prático: essa fórmula é específica para o retificador trifásico de meia-onda com carga resistiva e diodos ideais. Serve para calcular diretamente a tensão média DC que aparece sobre a carga.

Passo 4

Cálculo numérico da tensão média:
  • Usando os valores numéricos obtidos no Passo 2:
V_{dc}=\frac{3\sqrt{3}\,V_m}{2\pi}\approx\frac{3\cdot1{,}73205\cdot179{,}61}{2\cdot3{,}14159}\\ \text{V}\approx148{,}57\\ \text{V}.
Portanto a tensão média na carga é aproximadamente 148{,}6\\ \text{V}.

Passo 5

Corrente média na carga (lei de Ohm para valor médio DC):
  • Para carga puramente resistiva, a corrente média I_{dc} é simplesmente
I_{dc}=\frac{V_{dc}}{R}.
  • Substituindo numericamente:
I_{dc}=\frac{148{,}574\\ \text{V}}{10\\ \Omega}\approx14{,}857\\ \text{A}.
Arredondando: I_{dc}\approx14{,}86\\ \text{A}.

Passo 6

Corrente máxima na carga:
  • A corrente instantânea segue i(t)=v_o(t)/R. O máximo de v_o(t) é o pico de fase V_m. Logo a corrente máxima em carga é
I_{\text{max}}=\frac{V_m}{R}.
  • Numericamente:
I_{\text{max}}=\frac{179{,}61\\ \text{V}}{10\\ \Omega}\approx17{,}961\\ \text{A}.
Arredondando: I_{\text{max}}\approx17{,}96\\ \text{A}.

Passo 7

Valor nominal da PIV (Peak Inverse Voltage) do diodo:
  • Explicação física curta: quando um diodo não conduz, ele vê na anodo e cátodo tensões provenientes de fases diferentes; a máxima tensão inversa que um diodo tem de suportar, no pior caso, corresponde ao pico da tensão entre duas fases (pico linha-a-linha). Esse pico é
V_{LL,\text{peak}}=\sqrt{2}\,V_{LL,\text{rms}}.
  • Assim a PIV requerida para cada diodo (valor mínimo que o diodo deve aguentar) é
\text{PIV}=V_{LL,\text{peak}}=\sqrt{2}\cdot220\\ \text{V}\approx311{,}13\\ \text{V}.
Observação: outra forma de ver é que, quando um diodo conduz e força o nó de carga a quase V_m de uma fase, alguma outra fase pode estar aproximadamente a -(\sqrt{3}-1) da outra — o cálculo rigoroso de diferença de fases leva ao valor de pico linha-a-linha como limite máximo, que é o resultado usado em projetos práticos.

Passo 8

Corrente máxima no diodo:
  • Em um retificador de meia-onda trifásico com carga resistiva e diodos ideais, em cada intervalo só um diodo conduz e a corrente máxima que esse diodo vê é a corrente máxima da carga, calculada no Passo 6. Portanto
I_{D,\text{max}}=I_{\text{max}}=\frac{V_m}{R}\approx17{,}96\\ \text{A}.

Passo 9

Potência média na carga:
  • A potência média (dissipada em R) pode ser obtida por várias fórmulas equivalentes, por exemplo
P_{avg}=\frac{V_{dc}^2}{R}=V_{dc}\,I_{dc}=I_{dc}^2 R.
  • Usando V_{dc} e I_{dc} calculados:
P_{avg}=V_{dc}\,I_{dc}\approx148{,}574\\ \text{V}\times14{,}857\\ \text{A}\approx2207{,}8\\ \text{W}.

Resposta

(a) 148{,}6\\ \text{V}
(b) 14{,}86\\ \text{A}
(c) 17{,}96\\ \text{A}
(d) \text{PIV}\approx311{,}1\\ \text{V}
(e) 17{,}96\\ \text{A}
(f) 2207{,}8\\ \text{W}

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