Um pilar de aço, de seção transversal retangular de 25 mm times 50 mm é biarticulado e suporta uma carga axial compressiva. Qual é o menor comprimento L do pilar de forma que se possa aplicar a fórmula de Euler? Supor E=21000 kgf / mm^2 e o limite de proporcionalidade sigmap=21 kgf / mm^2.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos um pilar de aço, seção retangular de 25 mm × 50 mm, biarticulado (ou seja, engastado com giro em ambas as extremidades) e sujeito a uma carga de compressão axial. Queremos saber qual é o menor comprimento L desse pilar para que a gente possa usar a famosa fórmula de Euler sem tropeçar em efeitos de escoamento do material.
Conteúdo da matéria: resistência dos materiais – teoria das colunas e flambagem (Euler).
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do limite de esbeltez crítica (λ_cr) que garante que a flambagem de Euler é válida:
lambdamin = pi raizEsigmap
  1. A definição de esbeltez: lambda = Lr
  2. Cálculo do raio de giração r = raizIA pra a menor inércia.

Passo 2

Primeiro, a condição pra Euler valer é que a esbeltez real λ do pilar seja maior ou igual a um valor crítico lambdamin, dado por
lambdamin ;=;pi,raizEsigmap,
Aqui,
- é o módulo de elasticidade do aço,
- é o limite de proporcionalidade (antes de escoar).

Passo 3

A esbeltez é L >= lambdamin,r, , então pra garantir basta exigir

Logo, nosso trabalho agora é:
1. Calcular o raio de giração .
2. Calcular .
3. Multiplicar pra achar .

Passo 4

Vamos ao raio de giração I = b,h^312.
  1. Área I = 25cdot50^312 = 25cdot12500012 = 260416,7 mm^4(na verdade esse é o maior eixo; o menor é com brightarrow h).
  2. Momento de inércia mínimo Imin=50cdot25^312 =65104,2 mm^4, : num retângulo buscamo o eixo com menor inércia, que é r=raizIminA =raiz65104,21250 =raiz52,0834 approx7,22 mm,
    onde e .
    Então
    $$I = \frac{25\cdot50^3}{12}= \frac{25\cdot125000}{12}= 260416,7mm^4\quad(na verdade esse é o maior eixo; o menor é comb\leftrightarrow h)I_{\min}=\frac{50\cdot25^3}{12}=65104,2mm^4,. ãr=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}
     =\sqrt{\frac{65104,2}{1250}}
     =\sqrt{52,0834}
     \approx7,22\text{ mm}\,. $$

Passo 5

Agora lambdamin =piraiz2100021 =piraiz1000 =picdot31,6228 approx99,36, :
  • Lmin = lambdamin,r =99,36times7,22 approx717 mm, ,
  • .
    Logo
Finalmente

Resposta

O menor comprimento para usar a fórmula de Euler é, aproximadamente, 717 mm.

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