Um pilar de aço, de seção transversal retangular de
é biarticulado e suporta uma carga axial compressiva. Qual é o menor comprimento
do pilar de forma que se possa aplicar a fórmula de Euler? Supor
e o limite de proporcionalidade
.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: temos um pilar de aço, seção retangular de 25 mm × 50 mm, biarticulado (ou seja, engastado com giro em ambas as extremidades) e sujeito a uma carga de compressão axial. Queremos saber qual é o menor comprimento L desse pilar para que a gente possa usar a famosa fórmula de Euler sem tropeçar em efeitos de escoamento do material.
Conteúdo da matéria: resistência dos materiais – teoria das colunas e flambagem (Euler).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: resistência dos materiais – teoria das colunas e flambagem (Euler).
O que vamos precisar:
- A fórmula do limite de esbeltez crítica (λ_cr) que garante que a flambagem de Euler é válida:
- A definição de esbeltez:
- Cálculo do raio de giração
pra a menor inércia.
Passo 2
Primeiro, a condição pra Euler valer é que a esbeltez real λ do pilar seja maior ou igual a um valor crítico
, dado por
Aqui,
-
-
Passo 3
A esbeltez é
, então pra garantir
basta exigir
Logo, nosso trabalho agora é:
1. Calcular o raio de giração
2. Calcular
3. Multiplicar pra achar
Passo 4
Vamos ao raio de giração
.
- Área
. - Momento de inércia mínimo
: num retângulo buscamo o eixo com menor inércia, que é
ondee .
Então
$$I = \frac{25\cdot50^3}{12}= \frac{25\cdot125000}{12}= 260416,7mm^4\quad(na verdade esse é o maior eixo; o menor é comb\leftrightarrow h)I_{\min}=\frac{50\cdot25^3}{12}=65104,2mm^4,.r=\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} =\sqrt{\frac{65104,2}{1250}} =\sqrt{52,0834} \approx7,22\text{ mm}\,. $$
Passo 5
Agora
:
-
, -
.
Logo
Finalmente
Resposta
O menor comprimento
para usar a fórmula de Euler é, aproximadamente, 717 mm.