Um pilar de aço tem a seção transversal retangular de 50 mm times 100 mm e é comprimido por uma força axial P. Supor E=21000 kgf / mm^2. O pilar tem as extremidades biarticuladas e deseja-se manter um coeficiente de segurança n=2. Qual a tensão admissível sigma adm que pode ser permitida no pilar se os comprimentos forem respectivamente (a) 2,0 m; (b) 2,5 me © 3,0 m ?

Passo 1

Então, mano, a gente tem um pilar de aço com seção retangular 50 mm × 100 mm, E = 21000 kgf/mm², extremidades biarticuladas (pinos nos dois lados) e fator de segurança n = 2. O que a gente quer é a tensão admissível σ_adm em função do comprimento L do pilar (2,0 m, 2,5 m e 3,0 m).
Conteúdo: flambagem de Euler, cálculo de esbeltez (λ), raio de giração k, tensão crítica σ_cr e depois aplicação do coeficiente de segurança.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a área A, o momento de inércia mínimo I_min (ele vai “bambear” no eixo mais fraco) e o raio de giração k:
A = b·h = 50 mm × 100 mm = 5000 mm²
I_min = (base·largura³)/12 = (100 mm × 50³ mm³)/12 = 1 041 667 mm⁴
k = √(I_min/A) = √(1 041 667 / 5000) ≈ 14,43 mm

Passo 3

Agora o conceito de esbeltez λ = L / k (sempre em mm):
Para L = 2 m = 2000 mm → λ₁ = 2000 / 14,43 ≈ 138,6
Para L = 2,5 m = 2500 mm → λ₂ = 2500 / 14,43 ≈ 173,2
Para L = 3,0 m = 3000 mm → λ₃ = 3000 / 14,43 ≈ 207,9

Passo 4

A fórmula de Euler para tensão crítica é
σ_cr = π²·E / λ²
Então, para cada λ:
σ_cr₁ = π²·21000 / (138,6)² ≈ 10,80 kgf/mm²
σ_cr₂ = π²·21000 / (173,2)² ≈ 6,91 kgf/mm²
σ_cr₃ = π²·21000 / (207,9)² ≈ 4,80 kgf/mm²

Passo 5

Por fim, a tensão admissível entra o fator de segurança n = 2:
σ_adm = σ_cr / n
Logo:
σ_adm₁ = 10,80 / 2 ≈ 5,40 kgf/mm²
σ_adm₂ = 6,91 / 2 ≈ 3,45 kgf/mm²
σ_adm₃ = 4,80 / 2 ≈ 2,40 kgf/mm²

Resposta

Para os comprimentos dados, a tensão admissível é:
(a) L = 2,0 m → σ_adm ≈ 5,40 kgf/mm²
(b) L = 2,5 m → σ_adm ≈ 3,45 kgf/mm²
© L = 3,0 m → σ_adm ≈ 2,40 kgf/mm²

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