Um pilar esbelto de alumínio, com E=7000 kgf / mm^2 e 2,0 m de comprimento, é construído em forma tubular com 50 mm de diâmetro externo. Determinar a espessura t necessária para evitar a flambagem, sendo a carga compressiva P=1500 kgf, o coeficiente de segurança n=2 e os apoios biarticulados.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um pilar esbelto tubular de alumínio (E=7000 kgf/mm²) com comprimento L=2 m e diâmetro externo Dₑ=50 mm. Aplicam uma carga de compressão P=1500 kgf e queremos um coeficiente de segurança n=2. Os apoios são biarticulados (K=1).
Matéria: flambagem de colunas (teoria de Euler). Precisamos da fórmula da carga crítica de Euler e do momento de inércia de um tubo circular, além de relacionar o diâmetro interno Dᵢ com a espessura t.

Passo 2

A teoria de Euler nos diz que a carga crítica de flambagem é
Prm cr ;=;pi^2,E,I(K,L)^2
onde
  • E é o módulo de Young,
  • I é o momento de inércia da seção,
  • K·L é o comprimento efetivo da coluna (K=1 → K·L=L),
  • Pₙ precisa ser maior ou igual a n·P para segurança.
    Então a condição de segurança é
pi^2,E,IL^2;>=;n,P

Passo 3

Agora, o momento de inércia de um tubo circular é
I ;=;pi64,l(De^4 - Di^4r)
com Dₑ=50 mm e Dᵢ= Dₑ – 2t. Aí a espessura t entra por Dᵢ.

Passo 4

Isolando I na condição de segurança:
I;>=;n,P,L^2pi^2,E
Substituindo os valores (tudo em mm e kgf):
  • n=2, P=1500 kgf, L=2000 mm, E=7000 kgf/mm², π²≈9,8696
Imin = 2cdot1500cdot(2000)^29,8696cdot7000 ;approx;1,74times10^5;mm^4

Passo 5

Igualamos isso ao momento de inércia do tubo:
pi64,(50^4 - Di^4);>=;1,74times10^5
Calculando π/64≈0,049087 e 50⁴=6,25×10⁶ dá
0,049087,(6,25times10^6 - Di^4);>=;1,74times10^5
6,25times10^6 - Di^4 ;>=;1,74times10^50,049087 ;approx;2,71times10^6
Di^4 ;<=;6,25times10^6 - 2,71times10^6 ;=;3,54times10^6
Di ;<=;(3,54times10^6)^1/4 ;approx;40,6;mm

Resposta

Então a espessura mínima t é
t = De - Di2 =50 - 40,62 approx 4,7;mm

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