( 1,5 pontos) Determinou-se a condutividade hidráulica de um solo em função da umidade e obteve-se os valores dados na tabela abaixo. Empregando todos os pontos ( \theta \times \mathrm{K} ), ajuste os coeficientes da equação: K=K_{0}{ }^{*} \exp \left[\gamma^{*}\left(\Theta-\Theta_{0}\right)\right].
Umidade -\boldsymbol{\theta}\left(\mathbf{c m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{c m}^{\mathbf{3}}\right) \boldsymbol{K}(\mathbf{c m} / dia )
0,510 (saturação) 5,42
0,463 1,71
0,405 0,41
0,366 0,157
0,273 0,016
0,214 0,0037

Passo 1

O enunciado fornece seis pares de dados de umidade \Theta e condutividade hidráulica K e pede o ajuste da seguinte relação exponencial:
K = K_{0}\,\exp\!\bigl[\gamma\,(\Theta - \Theta_{0})\bigr].
Aqui escolhemos como referência \Theta_{0}=0{,}510 (umidade de saturação). Para ajustar K_{0} e \gamma vamos linearizar o modelo, aplicando o logaritmo natural.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados da equação, obtendo
\ln K \;=\;\ln K_{0}\;+\;\gamma\,(\Theta - \Theta_{0}).
Definimos
x_i = \Theta_i - \Theta_{0},\quad y_i = \ln K_i,
de modo que o ajuste se transforma num problema de regressão linear y = a + b\,x, em que a = \ln K_{0} e b = \gamma.

Passo 3

Calculamos para cada par (\Theta_i,K_i) os valores de x_i, y_i, x_i y_i e x_i^2, e em seguida as somas necessárias:
\begin{aligned} \sum x_i &= -0{,}829, &\sum y_i &= -10{,}247,\\\ \sum x_i y_i &= 2{,}9718, &\sum x_i^2 &= 0{,}17776, &n &= 6. \end{aligned}

Passo 4

Usamos as fórmulas dos mínimos quadrados para reta:
\gamma = b = \frac{n\sum x_i y_i \;-\;\sum x_i\,\sum y_i} {n\sum x_i^2 \;-\;(\sum x_i)^2},
a = \ln K_{0} = \frac{\sum y_i - b\,\sum x_i}{n}.
Substituindo,
\gamma = \frac{6\cdot2{,}9718 -(-0{,}829)(-10{,}247)} {6\cdot0{,}17776 -(-0{,}829)^2} \approx 24{,}6,
a = \frac{-10{,}247 - 24{,}6\cdot(-0{,}829)}{6} \approx 1{,}693.

Passo 5

Finalmente,
K_{0} = e^{a} = e^{1{,}693} \approx 5{,}44.
Logo o modelo ajustado é
K = 5{,}44\;\exp\!\bigl[24{,}6\,(\Theta - 0{,}510)\bigr].

Resposta

K = 5{,}44\;\exp\!\bigl[24{,}6\,(\Theta - 0{,}510)\bigr].

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