Equação da continuidade:
( 0,7 pontos) Em um elemento de volume de solo cúbico ( 1 \mathrm{~cm}^{3} ) com fluxo apenas na direção vertical, entra um fluxo de 1,56 \mathrm{~mm} /dia na face superior e sai um fluxo 1,61 \mathrm{mm} / dia na face inferior. Calcule a variação de umidade em 1 dia no elemento de volume.

Passo 1

O enunciado nos dá um elemento cúbico de solo com volume de 1\\ \mathrm{cm}^3 e fluxo unidimensional vertical. Entram 1{,}56\\ \mathrm{mm/dia} na face superior e saem 1{,}61\\ \mathrm{mm/dia} na face inferior. Queremos a variação de umidade após 1 dia, usando a equação da continuidade: variação de água armazenada = entrada – saída.

Passo 2

Primeiro, convertemos os fluxos para centímetros por dia, pois o elemento está em cm:
1\\ \mathrm{mm} = 0,1\\ \mathrm{cm}
q_{\rm in} = 1{,}56\\ \tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{dia}} = 1{,}56 \times 0{,}1\\ \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{dia}} = 0{,}156\\ \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{dia}}
q_{\rm out} = 1{,}61\\ \tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{dia}} = 1{,}61 \times 0{,}1\\ \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{dia}} = 0{,}161\\ \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{dia}}

Passo 3

O lado do cubo é \sqrt[3]{1\\ \mathrm{cm}^3}=1\\ \mathrm{cm}, logo cada face tem área
A = 1\\ \mathrm{cm} \times 1\\ \mathrm{cm} = 1\\ \mathrm{cm}^2.
Em 1 dia \Delta t=1\\ \mathrm{dia}, o volume de água que entra e sai é
V_{\rm in} = q_{\rm in}\,A\,\Delta t = 0{,}156\\ \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{dia}}\times1\\ \mathrm{cm}^2\times1\\ \mathrm{dia} = 0{,}156\\ \mathrm{cm}^3
V_{\rm out} = 0{,}161\\ \tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{dia}}\times1\\ \mathrm{cm}^2\times1\\ \mathrm{dia} = 0{,}161\\ \mathrm{cm}^3

Passo 4

A variação de volume de água no elemento é
\Delta V = V_{\rm in} - V_{\rm out} = 0{,}156 - 0{,}161 = -0{,}005\\ \mathrm{cm}^3.
Para achar a variação de umidade volumétrica \theta, dividimos pela volume total do elemento 1\\ \mathrm{cm}^3:
\Delta \theta = \frac{\Delta V}{V_{\rm solo}} = \frac{-0{,}005\\ \mathrm{cm}^3}{1\\ \mathrm{cm}^3} = -0{,}005.

Resposta

A umidade volumétrica do elemento diminui em 0{,}005 (ou seja, -0{,}5\% v/v) após 1 dia.

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