Questão 4: Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa
e raio
. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa
e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância
acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo se desenrola sem esticar nem deslizar.
(a) [1,0] Calcule o momento de inércia do cilindro maciço.
(b)
Calcule a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.
(a) [1,0] Calcule o momento de inércia do cilindro maciço.
(b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
- Massa do cilindro maciço:
. - Raio do cilindro:
. - Massa do bloco preso ao cabo:
. - Altura inicial do bloco acima do solo:
. - O cabo desenrola sem escorregar nem esticar; o eixo do cilindro é fixo e o atrito é desprezível.
- O bloco é liberado do repouso.
O que é pedido:
(a) Calcular o momento de inércia do cilindro maciço.
(b) Calcular a velocidade angular do cilindro no instante em que o bloco atinge o solo.
(a) Calcular o momento de inércia do cilindro maciço.
(b) Calcular a velocidade angular
Passo 2
Vamos resolver (a): o momento de inércia de um cilindro maciço (sólido) de massa
e raio
em torno de seu eixo central é dado pela fórmula padrão
Explicando essa fórmula de forma simples: o momento de inércia
mede como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo de rotação; quanto mais massa longe do eixo, maior
. Para um cilindro sólido uniforme, a derivação leva ao fator
.
Agora substituímos os valores numéricos dados:
e
.
Passo 3
Cálculo numérico do momento de inércia:
Portanto o momento de inércia do cilindro é
.
Passo 4
Agora (b): para achar a velocidade angular quando o bloco atinge o solo usamos conservação de energia mecânica (não há perda por atrito nem calor). A energia potencial gravitacional inicial do bloco é transformada em energia cinética translacional do bloco e em energia cinética rotacional do cilindro.
Escrevendo isso:
onde
é a velocidade linear do bloco ao chegar ao solo,
é a aceleração da gravidade (usar
), e
é a velocidade angular do cilindro nesse instante.
Pelo enunciado o cabo não escorrega, logo há a condição de não deslizamento entre cabo e cilindro:
Substituindo
na equação de energia, obtemos uma equação apenas para
:
Passo 5
Isolando
:
Observação útil: para um cilindro sólido temos
, pois
. Assim a expressão simplifica bastante:
Substituindo os números:
,
,
,
.
Logo
Passo 6
Finalmente obtemos a velocidade angular
usando
:
Interpretação rápida e encorajamento: o valor faz sentido — o bloco ganha velocidade ao cair, parte da energia vai para giro do cilindro, por isso
é menor do que seria se o bloco apenas caísse livremente; a relação
conecta o movimento linear do bloco com a rotação do cilindro.
Resposta
(a)
(b)