Questão 4: Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M=2,50 \mathrm{~kg} e raio R=0,280 m. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m=1,50 \mathrm{~kg} e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância h=3,00 \mathrm{~m} acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo se desenrola sem esticar nem deslizar.
(a) [1,0] Calcule o momento de inércia do cilindro maciço.
(b) [1,0] Calcule a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Massa do cilindro maciço: M = 2,50\\ \mathrm{kg}.
  • Raio do cilindro: R = 0,280\\ \mathrm{m}.
  • Massa do bloco preso ao cabo: m = 1,50\\ \mathrm{kg}.
  • Altura inicial do bloco acima do solo: h = 3,00\\ \mathrm{m}.
  • O cabo desenrola sem escorregar nem esticar; o eixo do cilindro é fixo e o atrito é desprezível.
  • O bloco é liberado do repouso.
O que é pedido:
(a) Calcular o momento de inércia do cilindro maciço.
(b) Calcular a velocidade angular \omega do cilindro no instante em que o bloco atinge o solo.

Passo 2

Vamos resolver (a): o momento de inércia de um cilindro maciço (sólido) de massa M e raio R em torno de seu eixo central é dado pela fórmula padrão
I=\tfrac{1}{2} M R^{2}.
Explicando essa fórmula de forma simples: o momento de inércia I mede como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo de rotação; quanto mais massa longe do eixo, maior I. Para um cilindro sólido uniforme, a derivação leva ao fator \tfrac{1}{2}.
Agora substituímos os valores numéricos dados: M=2,50\\ \mathrm{kg} e R=0,280\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo numérico do momento de inércia:
R^{2}=(0,280)^{2}=0,0784\\ \mathrm{m^{2}},
I=\tfrac{1}{2}\cdot(2,50)\cdot 0,0784=1,25\cdot 0,0784=0,0980\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
Portanto o momento de inércia do cilindro é I=0,0980\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 4

Agora (b): para achar a velocidade angular quando o bloco atinge o solo usamos conservação de energia mecânica (não há perda por atrito nem calor). A energia potencial gravitacional inicial do bloco é transformada em energia cinética translacional do bloco e em energia cinética rotacional do cilindro.
Escrevendo isso:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} I \omega^{2},
onde v é a velocidade linear do bloco ao chegar ao solo, g é a aceleração da gravidade (usar g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}), e \omega é a velocidade angular do cilindro nesse instante.
Pelo enunciado o cabo não escorrega, logo há a condição de não deslizamento entre cabo e cilindro:
v = \omega R \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v}{R}.
Substituindo \omega=v/R na equação de energia, obtemos uma equação apenas para v:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^{2} = \tfrac{1}{2} v^{2}\left(m + \frac{I}{R^{2}}\right).

Passo 5

Isolando v^{2}:
v^{2}=\frac{2 m g h}{\,m + \dfrac{I}{R^{2}}\,}.
Observação útil: para um cilindro sólido temos \dfrac{I}{R^{2}}=\dfrac{1}{2}M, pois I=\tfrac{1}{2}MR^{2}. Assim a expressão simplifica bastante:
m + \frac{I}{R^{2}} = m + \frac{1}{2}M.
Substituindo os números: m=1,50\\ \mathrm{kg}, M=2,50\\ \mathrm{kg}, g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}, h=3,00\\ \mathrm{m}.
m + \frac{1}{2}M = 1,50 + \tfrac{1}{2}\cdot 2,50 = 1,50 + 1,25 = 2,75\\ \mathrm{kg}.
2 m g h = 2\cdot 1,50\cdot 9,80\cdot 3,00 = 88,2\\ (\mathrm{SI\\ units}).
Logo
v^{2}=\frac{88,2}{2,75}=32,0727\ldots
v=\sqrt{32,0727\ldots}=5,66\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Finalmente obtemos a velocidade angular \omega usando \omega=v/R:
\omega=\frac{v}{R}=\frac{5,66}{0,280}=20,2\\ \mathrm{rad/s}\quad(\text{aprox.}).
Interpretação rápida e encorajamento: o valor faz sentido — o bloco ganha velocidade ao cair, parte da energia vai para giro do cilindro, por isso v é menor do que seria se o bloco apenas caísse livremente; a relação v=\omega R conecta o movimento linear do bloco com a rotação do cilindro.

Resposta

(a) \,I=0,0980\\ \mathrm{kg\,m^{2}}
(b) \omega=20,2\\ \mathrm{rad/s}

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