Onde, U_{0} e a são constantes. Determine:
a) A força F(x).
b) O valor de x para o ponto de equilíbrio.
c) O valor de x em que a energia potencial é nula.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial de uma molécula diatômica como
U = U_{0}\left[\left(\frac{a}{x}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{x}\right)^{6}\right],
onde U_{0} e a são constantes. Precisa-se determinar:
a) a força F(x) associada a essa energia potencial;
b) o(s) valor(es) de x que correspondem a ponto(s) de equilíbrio;
c) o(s) valor(es) de x para os quais a energia potencial é nula.
Passo 2
Conceito importante (rápido e prático): em uma dimensão a força relacionada à energia potencial é dada por
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isto significa que para achar F(x) devemos derivar U(x) em relação a x e mudar o sinal.
Lembrete de cálculo que vamos usar (regra do poder): se f(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Também usaremos que \left(\dfrac{a}{x}\right)^{n}=a^{n}x^{-n}, o que facilita a derivação.
Passo 3
Derivando U(x) termo a termo. Primeiro reescrevo cada potência como a^{n}x^{-n}:
As constantes multiplicativas não anulam (assumimos U_{0}\neq0, a\neq0) e x^{13}=0 não é permitido para posições físicas positivas. Logo a condição relevante é
a^{6}-x^{6}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{6}=a^{6}.
Para x>0 (distância entre átomos) isto dá
x=a.
Passo 6
Comentário sobre estabilidade (útil para prova): um ponto de equilíbrio é estável se U(x) tem mínimo aí, isto é, se \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}>0 no ponto. Calculando a segunda derivada a partir de \dfrac{dU}{dx}=12U_{0}\left(-\dfrac{a^{12}}{x^{13}}+\dfrac{a^{6}}{x^{7}}\right) obtemos
a) \displaystyle F(x)=12U_{0}\left(\frac{a^{12}}{x^{13}}-\frac{a^{6}}{x^{7}}\right)=12U_{0}\,\frac{a^{6}}{x^{13}}\left(a^{6}-x^{6}\right)
b) \displaystyle x=a
c) \displaystyle x=\frac{a}{2^{1/6}}=\frac{a}{\sqrt[6]{2}}