A função energia potencial de uma molécula diatômica pode ser representada, aproximadamente, por:
U=U_{0}\left[\left(\frac{a}{x}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{x}\right)^{6}\right]
Onde, U_{0} e a são constantes. Determine:
a) A força F(x).
b) O valor de x para o ponto de equilíbrio.
c) O valor de x em que a energia potencial é nula.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de uma molécula diatômica como
U = U_{0}\left[\left(\frac{a}{x}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{x}\right)^{6}\right],
onde U_{0} e a são constantes. Precisa-se determinar:
a) a força F(x) associada a essa energia potencial;
b) o(s) valor(es) de x que correspondem a ponto(s) de equilíbrio;
c) o(s) valor(es) de x para os quais a energia potencial é nula.

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): em uma dimensão a força relacionada à energia potencial é dada por
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isto significa que para achar F(x) devemos derivar U(x) em relação a x e mudar o sinal.
Lembrete de cálculo que vamos usar (regra do poder): se f(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Também usaremos que \left(\dfrac{a}{x}\right)^{n}=a^{n}x^{-n}, o que facilita a derivação.

Passo 3

Derivando U(x) termo a termo. Primeiro reescrevo cada potência como a^{n}x^{-n}:
U(x)=U_{0}\!\left[a^{12}x^{-12}-2a^{6}x^{-6}\right].
Agora aplico a regra do poder em cada termo:
\frac{dU}{dx}=U_{0}\left[a^{12}(-12)x^{-13}-2a^{6}(-6)x^{-7}\right].
Simplificando os sinais e coeficientes:
\frac{dU}{dx}=U_{0}\left[-12\frac{a^{12}}{x^{13}}+12\frac{a^{6}}{x^{7}}\right] =12U_{0}\left(-\frac{a^{12}}{x^{13}}+\frac{a^{6}}{x^{7}}\right).

Passo 4

Agora aplico F(x)=-\dfrac{dU}{dx}:
F(x)=-12U_{0}\left(-\frac{a^{12}}{x^{13}}+\frac{a^{6}}{x^{7}}\right) =12U_{0}\left(\frac{a^{12}}{x^{13}}-\frac{a^{6}}{x^{7}}\right).
Fatorando para uma forma compacta (útil para análise posterior):
F(x)=12U_{0}\,\frac{a^{6}}{x^{13}}\left(a^{6}-x^{6}\right).
Essa é a expressão da força. Observação intuitiva: o sinal da força depende de a^{6}-x^{6}, ou seja, muda quando x passa por a.

Passo 5

Pontos de equilíbrio ocorrem quando F(x)=0. Da expressão fatorada, temos
12U_{0}\,\frac{a^{6}}{x^{13}}\left(a^{6}-x^{6}\right)=0.
As constantes multiplicativas não anulam (assumimos U_{0}\neq0, a\neq0) e x^{13}=0 não é permitido para posições físicas positivas. Logo a condição relevante é
a^{6}-x^{6}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{6}=a^{6}.
Para x>0 (distância entre átomos) isto dá
x=a.

Passo 6

Comentário sobre estabilidade (útil para prova): um ponto de equilíbrio é estável se U(x) tem mínimo aí, isto é, se \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}}>0 no ponto. Calculando a segunda derivada a partir de \dfrac{dU}{dx}=12U_{0}\left(-\dfrac{a^{12}}{x^{13}}+\dfrac{a^{6}}{x^{7}}\right) obtemos
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=12U_{0}\left(13\frac{a^{12}}{x^{14}}-7\frac{a^{6}}{x^{8}}\right).
Avaliando em x=a:
\left.\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\right|_{x=a}=12U_{0}\left(\frac{13a^{12}}{a^{14}}-\frac{7a^{6}}{a^{8}}\right) =12U_{0}\left(\frac{13}{a^{2}}-\frac{7}{a^{2}}\right)=\frac{72U_{0}}{a^{2}}.
Se U_{0}>0 isso é positivo, logo x=a é um mínimo de U e o equilíbrio é estável.

Passo 7

Agora faço c): valores de x para os quais U(x)=0. Começo igualando a expressão a zero (assumindo U_{0}\neq0):
\left(\frac{a}{x}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{x}\right)^{6}=0.
Faço a substituição auxiliar y=\left(\dfrac{a}{x}\right)^{6}. A equação fica
y^{2}-2y=0 \quad\Rightarrow\quad y(y-2)=0.
As soluções são y=0 ou y=2. A solução y=0 significaria \left(\dfrac{a}{x}\right)^{6}=0, impossível para x finito e positivo. Portanto fica
\left(\frac{a}{x}\right)^{6}=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{a}{x}=2^{1/6}
e assim
x=\frac{a}{2^{1/6}}=a\,2^{-1/6}=\frac{a}{\sqrt[6]{2}}.

Resposta

a) \displaystyle F(x)=12U_{0}\left(\frac{a^{12}}{x^{13}}-\frac{a^{6}}{x^{7}}\right)=12U_{0}\,\frac{a^{6}}{x^{13}}\left(a^{6}-x^{6}\right)
b) \displaystyle x=a
c) \displaystyle x=\frac{a}{2^{1/6}}=\frac{a}{\sqrt[6]{2}}

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