Questão 5: A posição \vec{r} de uma partícula que se move no plano x y é dada por \vec{r}=\left(2,00 t^{3}-5,00 t\right) \hat{i}+ \left(6,00-7,00 t^{4}\right) \hat{j}, com \vec{r} em metros e t em segundos.
(a) [0,5] Calcule o vetor posição da partícula (componente x e y ) para t=0 e t=2,00 s.
(b) [0,5] Calcule o vetor velocidade média da partícula (componente x e y ) entre os instantes 0 e 2,00 s.
(c) [0,5] Calcule o vetor velocidade instantânea (componente x e y ) em t=2,00 s.
(d) [0,5] Calcule o vetor aceleração instantânea (componente x e y ) em t=2,00 s.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei do enunciado):
  • A posição da partícula no plano xy é
\vec{r}(t)=\bigl(2,00\,t^{3}-5,00\,t\bigr)\,\hat{i}+\bigl(6,00-7,00\,t^{4}\bigr)\,\hat{j},
com \vec{r} em metros e t em segundos.
O enunciado pede:
(a) calcular \vec{r} (componentes x e y) para t=0 e para t=2,00\\ \text{s}.
(b) calcular o vetor velocidade média entre t=0 e t=2,00\\ \text{s}.
(c) calcular o vetor velocidade instantânea (componentes x e y) em t=2,00\\ \text{s}.
(d) calcular o vetor aceleração instantânea (componentes x e y) em t=2,00\\ \text{s}.

Passo 2

Calcular \vec{r}(0). Primeiro escrevo as componentes separadas:
x(t)=2,00\,t^{3}-5,00\,t,\qquad y(t)=6,00-7,00\,t^{4}.
Agora avalio em t=0:
x(0)=2,00\cdot0^{3}-5,00\cdot0=0-0=0,
y(0)=6,00-7,00\cdot0^{4}=6,00-0=6,00.
Logo
\vec{r}(0)=0\,\hat{i}+6,00\,\hat{j}.

Passo 3

Calcular \vec{r}(2,00\\ \text{s}). Avaliando as mesmas expressões em t=2,00:
x(2,00)=2,00\cdot(2,00)^{3}-5,00\cdot(2,00).
Calculo passo a passo: (2,00)^{3}=8,00, então 2,00\cdot8,00=16,00. E 5,00\cdot2,00=10,00. Portanto
x(2,00)=16,00-10,00=6,00.
Agora y:
y(2,00)=6,00-7,00\cdot(2,00)^{4}.
Calculo: (2,00)^{4}=16,00, então 7,00\cdot16,00=112,00. Logo
y(2,00)=6,00-112,00=-106,00.
Portanto
\vec{r}(2,00)=6,00\,\hat{i}-106,00\,\hat{j}.

Passo 4

Calcular o vetor velocidade média entre t=0 e t=2,00\\ \text{s}.
Definição: a velocidade média é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo,
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(2,00)-\vec{r}(0)}{2,00-0}.é
Substituo os vetores que já calculei:
\Delta\vec{r}=\bigl(6,00-0\bigr)\hat{i}+\bigl(-106,00-6,00\bigr)\hat{j}=6,00\,\hat{i}+(-112,00)\,\hat{j}.
Dividindo por \Delta t=2,00:
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{6,00}{2,00}\,\hat{i}+\frac{-112,00}{2,00}\,\hat{j}=3,00\,\hat{i}-56,00\,\hat{j}.é
(Unidades: \text{m/s}.)

Passo 5

Entender e calcular a velocidade instantânea \vec{v}(t).
Conceito e fórmula: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Regra que usamos (regra do poder): se f(t)=a\,t^{n} então f'(t)=a\,n\,t^{n-1}. Também a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de constante multiplicativa sai na frente.
Aplicando componente a componente:
  • Para x(t)=2,00\,t^{3}-5,00\,t:
\frac{dx}{dt}=2,00\cdot3\,t^{2}-5,00\cdot1=6,00\,t^{2}-5,00.
  • Para y(t)=6,00-7,00\,t^{4}:
\frac{dy}{dt}=0-7,00\cdot4\,t^{3}=-28,00\,t^{3}.
Então, em geral,
\vec{v}(t)=\bigl(6,00\,t^{2}-5,00\bigr)\hat{i}+\bigl(-28,00\,t^{3}\bigr)\hat{j}.

Passo 6

Avaliar \vec{v}(t) em t=2,00\\ \text{s}.
Para a componente x:
v_x(2,00)=6,00\cdot(2,00)^{2}-5,00.
Calculo: (2,00)^{2}=4,00, então 6,00\cdot4,00=24,00. Logo v_x(2,00)=24,00-5,00=19,00.
Para a componente y:
v_y(2,00)=-28,00\cdot(2,00)^{3}.
Calculo: (2,00)^{3}=8,00, então -28,00\cdot8,00=-224,00.
Portanto
\vec{v}(2,00)=19,00\,\hat{i}-224,00\,\hat{j}\quad(\text{m/s}).

Passo 7

Calcular a aceleração instantânea \vec{a}(t).
Conceito e fórmula: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou segunda derivada da posição),
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Derivo as componentes de \vec{v}(t) encontradas no passo anterior:
  • Para v_x(t)=6,00\,t^{2}-5,00:
a_x(t)=\frac{d}{dt}(6,00\,t^{2}-5,00)=6,00\cdot2\,t-0=12,00\,t.
  • Para v_y(t)=-28,00\,t^{3}:
a_y(t)=\frac{d}{dt}(-28,00\,t^{3})=-28,00\cdot3\,t^{2}=-84,00\,t^{2}.
Assim,
\vec{a}(t)=\bigl(12,00\,t\bigr)\hat{i}+\bigl(-84,00\,t^{2}\bigr)\hat{j}.

Passo 8

Avaliar \vec{a}(t) em t=2,00\\ \text{s}.
Para a_x:
a_x(2,00)=12,00\cdot2,00=24,00.
Para a_y:
a_y(2,00)=-84,00\cdot(2,00)^{2}.
Calculo: (2,00)^{2}=4,00, então -84,00\cdot4,00=-336,00.
Portanto
\vec{a}(2,00)=24,00\,\hat{i}-336,00\,\hat{j}\quad(\text{m/s}^{2}).

Resposta

\vec{r}(0)=0\,\hat{i}+6,00\,\hat{j}
\vec{r}(2,00)=6,00\,\hat{i}-106,00\,\hat{j}
\vec{v}_{\text{méd}}=\;3,00\,\hat{i}-56,00\,\hat{j}\\ \text{(m/s)}é
\vec{v}(2,00)=19,00\,\hat{i}-224,00\,\hat{j}\\ \text{(m/s)}
\vec{a}(2,00)=24,00\,\hat{i}-336,00\,\hat{j}\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}

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