Questão 5: A posição
de uma partícula que se move no plano
é dada por
, com
em metros e
em segundos.
(a)
Calcule o vetor posição da partícula (componente
e
) para
e
.
(b)
Calcule o vetor velocidade média da partícula (componente
e
) entre os instantes 0 e
.
(c)
Calcule o vetor velocidade instantânea (componente
e
) em
.
(d)
Calcule o vetor aceleração instantânea (componente
e
) em
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei do enunciado):
- A posição da partícula no plano
é
com
em metros e
em segundos.
O enunciado pede:
(a) calcular (componentes
e
) para
e para
.
(b) calcular o vetor velocidade média entre e
.
(c) calcular o vetor velocidade instantânea (componentes e
) em
.
(d) calcular o vetor aceleração instantânea (componentes e
) em
.
(a) calcular
(b) calcular o vetor velocidade média entre
(c) calcular o vetor velocidade instantânea (componentes
(d) calcular o vetor aceleração instantânea (componentes
Passo 2
Calcular
. Primeiro escrevo as componentes separadas:
Agora avalio em
:
Logo
Passo 3
Calcular
. Avaliando as mesmas expressões em
:
Calculo passo a passo:
, então
. E
. Portanto
Agora
:
Calculo:
, então
. Logo
Portanto
Passo 4
Calcular o vetor velocidade média entre
e
.
Definição: a velocidade média é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo,
Substituo os vetores que já calculei:
Dividindo por
:
(Unidades:
.)
Passo 5
Entender e calcular a velocidade instantânea
.
Conceito e fórmula: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo,
Regra que usamos (regra do poder): se
então
. Também a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de constante multiplicativa sai na frente.
Aplicando componente a componente:
- Para
:
- Para
:
Então, em geral,
Passo 6
Avaliar
em
.
Para a componente
:
Calculo:
, então
. Logo
.
Para a componente
:
Calculo:
, então
.
Portanto
Passo 7
Calcular a aceleração instantânea
.
Conceito e fórmula: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou segunda derivada da posição),
Derivo as componentes de
encontradas no passo anterior:
- Para
:
- Para
:
Assim,
Passo 8
Avaliar
em
.
Para
:
Para
:
Calculo:
, então
.
Portanto