Questão 5 (3,0 pontos) Sendo a pressão P_{8} mantida igual a 532 kPa constante, determinar: (a) a potência da bomba de vazão 40 \mathrm{~L} / s e rendimento 0,7. (b) determinar se a tubulação está bem dimensionada. Indica-se com indice S o que se refere à sucção e R o que se refere ao recalque. Dados: D_{S}=15 \mathrm{~cm}; D_{R}=10 \mathrm{~cm}; \gamma_{\text {igaa }}=10^{4} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} (nota: verifique unidade, provável \mathrm{N} / \mathrm{m}^{3} ou \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ); \nu_{\text {igua }}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; P_{\text {vapor, água }}=1,96 \mathrm{kPa}á (abs); tubos de ferro galvanizado ( \epsilon=0,15 \mathrm{~mm} ). Perdas localizadas: K_{1}=15 ; K_{3}=K_{5}=10 ; K_{4}=0,5; K_{6}=0,9, K_{7}=1. Dica: (0) como os diâmetros de sucção e recalque são diferentes, você precisa calcular as perdas separadamente; (ii) para determinar se a tubulação está bem dimensionada, você precisa determinar a pressão na entrada da bomba e evitar a cavitação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a potência da bomba que atende a uma vazão de \,0,04\\ \mathrm{m^{3}/s} (ou 40\\ \mathrm{L/s}) com rendimento \eta=0,7, quando a pressão em um ponto identificado como P_{8} é mantida igual a \,532\\ \mathrm{kPa}.
  • (b) Determinar se a tubulação está bem dimensionada — isto é, verificar se a pressão na entrada da bomba é suficiente para evitar cavitação.
Informações fornecidas (copiadas e organizadas):
  • Vazão: \,Q=0,04\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Pressão mantida em P_{8}: \,P_{8}=532\\ \mathrm{kPa}.
  • Diâmetros: sucção \,D_{S}=0,15\\ \mathrm{m}, recalque \,D_{R}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Dado \gamma_{\text{igua}}=10^{4} (o enunciado nota ambiguidade de unidade).
  • Viscosidade cinemática: \,\nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Pressão de vapor da água: \,P_{\text{vapor}}=1{,}96\\ \mathrm{kPa} (absoluta).
  • Rugosidade dos tubos (ferro galvanizado): \,\epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Perdas localizadas: K_{1}=15; K_{3}=K_{5}=10; K_{4}=0{,}5; K_{6}=0{,}9; K_{7}=1.
Observação importante: o enunciado refere-se a índices de perdas localizadas e a um ponto P_{8}, mas não foi enviada a figura/diagrama da tubulação que mostra onde estão esses elementos, comprimentos de trechos, cotas (diferenças de altitude), nem a pressão/nível no reservatório de sucção. Sem essa figura / sem os comprimentos e alturas não é possível calcular exatamente:
  • as perdas por atrito totais (são proporcionais a \,L/D e o comprimento L não foi dado);
  • quais K_i estão na sucção ou no recalque (logo não dá para somar corretamente as perdas localizadas por lado);
  • a pressão absoluta na entrada da bomba (essencial para avaliar cavitação).
    Portanto, a solução numérica completa exige a figura/comprimentos/cotas que não foram fornecidos. Abaixo eu vou:
  1. explicar e ensinar passo a passo tudo que é preciso fazer e calcular todas as etapas que se podem calcular sem a figura;
  2. indicar exatamente quais dados faltam;
  3. dar um resultado de referência (limite mínimo) que se obtém com suposições explícitas (para orientar a prova).

Passo 2

Interpretar \gamma_{\text{igua}}=10^{4} e obter a densidade \rho.
Explicação didática: \gamma costuma indicar peso específico (força por volume), unidade \mathrm{N/m^{3}}. Se \gamma fosse densidade em \mathrm{kg/m^{3}} o valor 10^{4} seria impossível para água. Logo a interpretação razoável é:
\gamma = 10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
A relação entre peso específico e densidade é
\gamma=\rho g,
onde \rho é massa específica ( \mathrm{kg/m^{3}}) e g a gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}). Assim
\rho=\frac{\gamma}{g}.
Usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho=\frac{10^{4}}{9{,}81}\approx 1019{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Comentário: esse \rho é muito próximo da água. Se preferir pode usar \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}; eu vou manter \rho\approx1019{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}} (derivado do \gamma informado) nas contas que seguem, mas assinalarei isto explicitamente quando aplicar fórmulas.

Passo 3

Calcular áreas e velocidades nos dois trechos (sucção e recalque). Ensino rápido: a velocidade média em um tubo é V=Q/A, onde A=\pi D^{2}/4.
  • Área sucção:
A_{S}=\frac{\pi D_{S}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,15)^{2}}{4}\approx 0,017671\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área recalque:
A_{R}=\frac{\pi D_{R}^{2}}{4}=\frac{\pi(0,10)^{2}}{4}\approx 0,007854\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidades:
V_{S}=\frac{Q}{A_{S}}=\frac{0,04}{0,017671}\approx 2{,}264\\ \mathrm{m/s},
V_{R}=\frac{Q}{A_{R}}=\frac{0,04}{0,007854}\approx 5{,}093\\ \mathrm{m/s}.
Esses V já são importantes: velocidades altas no recalque (aqui \sim5{,}09\\ \mathrm{m/s}) causam maiores perdas por atrito.

Passo 4

Calcular número de Reynolds e decidir o regime (laminar/turbulento). Ensino: \mathrm{Re}=V D/\nu. Com \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
\mathrm{Re}_{S}=\frac{V_{S}D_{S}}{\nu}=\frac{2{,}264\times0{,}15}{1\times10^{-6}}\approx 3{,}396\times10^{5},
\mathrm{Re}_{R}=\frac{V_{R}D_{R}}{\nu}=\frac{5{,}093\times0{,}10}{1\times10^{-6}}\approx 5{,}093\times10^{5}.
Ambos são bem turbulentos ( \mathrm{Re}\gg4000), então usamos fórmulas de atrito turbulento.

Passo 5

Calcular o fator de atrito de Darcy ( f). Ensino: para tubos rugosos turbulentos pode-se usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação da equação de Colebrook):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Calculemos as razões de rugosidade:
\frac{\epsilon}{D_{S}}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}15}=0{,}001,\qquad \frac{\epsilon}{D_{R}}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}10}=0{,}0015.
Aplicando Swamee–Jain:
  • Para sucção:
f_{S}\approx 0{,}0196.
  • Para recalque:
f_{R}\approx 0{,}0223.
Interpretação: tubos menores (menor D) e velocidade mais alta tendem a apresentar maior perda por atrito (aqui f_{R}>f_{S} e V_{R}>V_{S}).

Passo 6

Calcular as alturas de velocidade (cabeças cinéticas) e as perdas por atrito por metro em cada trecho. Ensino: a perda por atrito numa linha reta pelo modelo de Darcy–Weisbach é
h_{f}=f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
logo a perda por metro é
\frac{h_{f}}{L}=f\frac{1}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g}.
Primeiro as cabeças cinéticas:
\frac{V_{S}^{2}}{2g}=\frac{(2{,}264)^{2}}{2\cdot9{,}81}\approx 0{,}261\\ \mathrm{m},
\frac{V_{R}^{2}}{2g}=\frac{(5{,}093)^{2}}{2\cdot9{,}81}\approx 1{,}323\\ \mathrm{m}.
Agora perdas por metro:
\frac{h_{f,S}}{L}=f_{S}\frac{1}{D_{S}}\frac{V_{S}^{2}}{2g}\approx 0{,}0196\cdot\frac{1}{0{,}15}\cdot0{,}261\approx 0{,}0341\\ \mathrm{m/m},
\frac{h_{f,R}}{L}=f_{R}\frac{1}{D_{R}}\frac{V_{R}^{2}}{2g}\approx 0{,}0223\cdot\frac{1}{0{,}10}\cdot1{,}323\approx 0{,}2949\\ \mathrm{m/m}.
Interpretação prática: cada metro do trecho de recalque pequeno dá perda de \approx0{,}295\\ \mathrm{m} de carga; cada metro do trecho de sucção dá \approx0{,}034\\ \mathrm{m}. Assim a perda total por atrito depende linearmente dos comprimentos L de cada trecho ( h_{f,\text{total}}= \frac{h_{f,S}}{L}\,L_{S} + \frac{h_{f,R}}{L}\,L_{R}).

Passo 7

Calcular perda localizada (modo de usar K) e como combinar com as perdas por atrito. Ensino: perda localizada em um elemento é
h_{K}=K\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde K é dado para cada elemento; usar a velocidade do trecho onde o elemento está. A perda localizada total é soma das h_{K} correspondentes. Para avaliar o sistema precisa-se saber quais K_i estão na sucção (usar V_{S}) e quais no recalque (usar V_{R}). Sem a figura não dá para alocar corretamente os K_i, logo não se consegue somar numericamente as perdas localizadas.

Passo 8

Converter a pressão P_{8} para altura de coluna de fluido — será útil para cálculo do salto de carga que a bomba precisa fornecer.
Ensino: a altura equivalente de uma pressão é \,P/(\rho g). Assim
\frac{P_{8}}{\rho g}=\frac{532000}{1019{,}4\cdot9{,}81}\approx 53{,}2\\ \mathrm{m}.
Isto significa que a pressão absoluta de 532\\ \mathrm{kPa} corresponde a cerca de 53{,}2\\ \mathrm{m} de coluna de água (com a \rho usada).

Passo 9

Expressão geral do salto de carga que a bomba precisa fornecer e fórmula da potência. Ensino passo a passo:
  1. A equação de energia entre o ponto de sucção (na entrada da bomba) e o ponto de recalque (onde está P_{8}) pode ser escrita, em termos de alturas, como:
H_{\text{bomba}}=\left(\frac{P_{8}}{\rho g}-\frac{P_{\text{entrada}}}{\rho g}\right)+\left(z_{8}-z_{\text{entrada}}\right)+h_{f,\text{tot}}+h_{K,\text{tot}},
onde:
  • P_{\text{entrada}} é a pressão absoluta na entrada da bomba (pump suction inlet),
  • z_{8}-z_{\text{entrada}} é a diferença de cota entre o ponto 8 e a entrada da bomba (positivo se o ponto 8 estiver acima),
  • h_{f,\text{tot}} é a soma das perdas por atrito em sucção e recalque,
  • h_{K,\text{tot}} é a soma das perdas localizadas (com as velocidades apropriadas).
  1. A potência hidráulica entregue ao fluido é
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_{\text{bomba}}.
A potência no eixo da bomba (considerando rendimento \eta) é
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}=\frac{\rho g Q H_{\text{bomba}}}{\eta}.
Observação: para avaliar cavitação precisamos do NPSH disponível (NPSHa). Fórmula geral (quando a sucção parte de um reservatório aberto à pressão atmosférica):
\mathrm{NPSH}_{\text{a}}=\frac{P_{\text{res}}}{\rho g} + z_{\text{res}} - h_{\text{perdas, sucção}} - \frac{P_{\text{vapor}}}{\rho g} + \frac{V_{S}^{2}}{2g},çã
onde P_{\text{res}} é a pressão no reservatório (normalmente atmosférica), z_{\text{res}} sua cota, e h_{\text{perdas, sucção}}çã é a perda de carga entre reservatório e entrada da bomba. A condição para evitar cavitação é:
\mathrm{NPSH}_{\text{a}} \ge \mathrm{NPSH}_{\text{r}},
onde \mathrm{NPSH}_{\text{r}} é o valor requerido pelo fabricante da bomba (não fornecido). Uma regra de bolso é ter uma margem de segurança de alguns metros (por ex. 1{,}5 a 3\\ \mathrm{m}) sobre P_{\text{vapor}}.

Passo 10

Calcular um valor de referência (limite mínimo) para a potência da bomba assumindo uma situação simplificadora útil como limite inferior: suponha que a entrada da bomba esteja à pressão atmosférica e desconsidere perdas de atrito e locais. Isto dá uma potência mínima necessária para elevar o fluido de pressão atmosférica até P_{8}=532\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão atmosférica padrão: P_{\text{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Diferença de pressão que a bomba precisa vencer (hipótese simplificadora):
\Delta P=P_{8}-P_{\text{atm}}=532000-101325=430675\\ \mathrm{Pa}.
  • Potência hidráulica mínima:
P_{\text{hid,min}}=\Delta P\cdot Q=430675\cdot0{,}04\approx 17227\\ \mathrm{W}.
  • Potência no eixo (considerando \eta=0{,}7):
P_{\text{eixo,min}}=\frac{P_{\text{hid,min}}}{\eta}\approx\frac{17227}{0{,}7}\approx 24610\\ \mathrm{W}\approx24{,}6\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: este 24{,}6\\ \mathrm{kW} é um valor de referência (limite inferior). Na prática, perdas por atrito e perdas localizadas aumentarão o salto de carga requerido e, portanto, a potência real será maior. Para obter a potência real é preciso somar as perdas por atrito e localizadas (que exigem L_{S},L_{R} e a alocação dos K_i) e inserir esse H_{\text{bomba}} na fórmula do passo anterior.

Passo 11

Resumo do que falta e instruções claras do que deve ser calculado quando a figura/dados completos forem fornecidos.
Dados essenciais que faltam e que são obrigatórios para obter respostas numéricas finais:
  • planta/diagrama que indique onde estão K_{1},K_{3},K_{4},K_{5},K_{6},K_{7} (sucção ou recalque);
  • comprimentos dos trechos de sucção L_{S} e recalque L_{R};
  • cotas (altitudes) dos pontos: nível do reservatório de sucção (se houver) e nível do ponto 8 ou da entrada da bomba, para avaliar (z_{8}-z_{\text{entrada}});
  • pressão/nível no reservatório de sucção (se aplicável) ou condições na boca de sucção (se não for reservatório aberto, a pressão de sucção deve ser fornecida);
  • valor de \mathrm{NPSH}_{\text{r}} requerido pela bomba (para comparar com a \mathrm{NPSH}_{\text{a}} calculada).
Passos a seguir quando esses dados forem fornecidos (resumo operacional que você pode usar na prova):
  1. Calcular \rho a partir de \gamma (ou usar densidade dada).
  2. Calcular A,D,V,\mathrm{Re} e f para cada trecho (já fiz isso aqui).
  3. Calcular h_{f} nos trechos: h_{f,S}=f_{S}\dfrac{L_{S}}{D_{S}}\dfrac{V_{S}^{2}}{2g} e h_{f,R}=f_{R}\dfrac{L_{R}}{D_{R}}\dfrac{V_{R}^{2}}{2g}.
  4. Calcular perdas localizadas por lado: somar os K correspondentes multiplicados por \dfrac{V^{2}}{2g} do respectivo trecho.
  5. Calcular H_{\text{bomba}} pela equação do Passo 9 e então P_{\text{eixo}}=\dfrac{\rho g Q H_{\text{bomba}}}{\eta}.
  6. Calcular \mathrm{NPSH}_{\text{a}} com a fórmula do Passo 9 e comparar com \mathrm{NPSH}_{\text{r}}.

Passo 12

Resultados numéricos já obtidos e úteis (mesmo sem a figura completa):
  • \rho adotada (da interpretação de \gamma): \rho\approx1019{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Velocidades:
V_{S}\approx 2{,}264\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{R}\approx 5{,}093\\ \mathrm{m/s}.
  • Números de Reynolds:
\mathrm{Re}_{S}\approx 3{,}396\times10^{5},\qquad \mathrm{Re}_{R}\approx 5{,}093\times10^{5}.
  • Fatores de atrito (Swamee–Jain):
f_{S}\approx 0{,}0196,\qquad f_{R}\approx 0{,}0223.
  • Cabeças de velocidade:
\frac{V_{S}^{2}}{2g}\approx 0{,}261\\ \mathrm{m},\qquad \frac{V_{R}^{2}}{2g}\approx 1{,}323\\ \mathrm{m}.
  • Perdas por atrito por metro:
\frac{h_{f,S}}{L}\approx 0{,}0341\\ \mathrm{m/m},\qquad \frac{h_{f,R}}{L}\approx 0{,}2949\\ \mathrm{m/m}.
  • Altura equivalente a P_{8}=532\\ \mathrm{kPa}:
\frac{P_{8}}{\rho g}\approx 53{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Potência mínima (limite inferior) assumindo sucção à pressão atmosférica e desconsiderando perdas:
P_{\text{eixo,min}}\approx 24{,}6\\ \mathrm{kW}.
Este 24{,}6\\ \mathrm{kW} é apenas um referencial: a potência real será maior quando forem incluídas as perdas por atrito (proporcionais aos comprimentos) e as perdas localizadas.

Passo 13

Conclusão final prática e incentivo: para responder (a) e (b) numericamente e com confiança (como o seu professor espera) eu preciso da figura/diagrama completo com comprimentos e cotas ou, alternativamente, dos valores numéricos de L_{S},L_{R}, a posição de cada K_i (sucção ou recalque) e a cota/pressão no reservatório de sucção. Com esses dados eu aplico diretamente as fórmulas do Passo 9 e entrego a potência final da bomba e a verificação da cavitação. Enquanto isso, você já tem todas as ferramentas e cálculos intermediários (velocidades, \mathrm{Re}, f, perdas por metro, conversão de pressão para metros de coluna e o limite inferior de potência) para fazer a conta completa rapidinho assim que obtiver os L e as cotas. Força — está quase lá!

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente a potência real sem os comprimentos, cotas e alocação das perdas localizadas; potência mínima (assumindo sucção à pressão atmosférica e desconsiderando perdas) \approx 24{,}6\\ \mathrm{kW}.
(b) Não é possível afirmar se a tubulação está bem dimensionada (falta figura/comprimentos/cotas e distribuição dos K_i para calcular \mathrm{NPSH}_{\text{a}} e comparar com P_{\text{vapor}} / \mathrm{NPSH}_{\text{r}}).

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