Considere um duto retangular liso de
de comprimento, com
e
, mantido em uma temperatura de superfície constante. Água entra no tubo
com vazão mássica de
. Determine a temperatura da superfície do tubo necessária para aquecer a água na temperatura de saída desejada de
. Propriedades do fluido:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a temperatura de superfície
(temperatura constante da parede do duto) necessária para aquecer a água de
até
, sabendo que a vazão mássica é
e o duto tem comprimento
.
Informações fornecidas (peguei os valores geométricos da imagem):
Informações fornecidas (peguei os valores geométricos da imagem):
- Dimensões do retângulo:
e . - Comprimento do duto:
(dado no enunciado).
Propriedades do fluido (fornecidas): -
, -
, -
, -
.
Observações iniciais que vou usar sem perguntar nada: assumirei densidade da água
porque não foi informada (valor apropriado para água na faixa de temperaturas consideradas). A solução exige avaliar o regime de escoamento (Re), verificar se o escoamento térmico está termicamente desenvolvido, obter um coeficiente de transferência de calor convectivo
e então resolver o balanço energético ao longo do comprimento para achar
.
Passo 2
Calcular área da seção, perímetro molhado e diâmetro hidráulico (conceitos):
- Área da seção transversal (retângulo):
. Aqui é a área disponível para o escoamento.
- Perímetro molhado
(contorno interno que troca calor): .
- Diâmetro hidráulico
. O diâmetro hidráulico é a dimensão característica usada em canais não circulares.
Passo 3
Calcular velocidade média e número de Reynolds para classificar o regime (conceitos):
- Vazão volumétrica
.
- Velocidade média
.
- Número de Reynolds
. Aqui indica se o escoamento é laminar ( ) ou turbulento.
Conclusão:
, portanto o escoamento é laminar.
Passo 4
Verificar se o escoamento térmico está termicamente desenvolvido (conceito de comprimento de entrada térmica):
Para escoamento laminar, um valor prático para o comprimento de entrada térmica é
Para escoamento laminar, um valor prático para o comprimento de entrada térmica é
onde
é o número de Prandtl (fornecido). Calcular:
Como
, o escoamento atinge a condição termicamente desenvolvida ao longo do duto. Assim, podemos usar valores de Nusselt correspondentes a escoamento termicamente desenvolvido laminar com parede de temperatura constante.
Passo 5
Escolha do número de Nusselt
para duto retangular termicamente desenvolvido (explicação e justificativa):
- O número de Nusselt
relaciona a convecção ao transporte por condução: , onde é o coeficiente convectivo médio que queremos e é a condutividade térmica do fluido. - Para escoamento laminar termicamente desenvolvido em conduta circular com parede à temperatura constante tem-se
. Para condutas de seção retangular depende da razão de aspecto . Aqui . Tabelas detalhadas (Shah & London) mostram que, para razões de aspecto moderadas, o valor de fica próximo ao valor circular de — ou seja, a diferença não é grande para perto de . - Para simplificar (método prático e usado em provas quando não há tabela disponível) adotarei a aproximação
justificando que o duto é relativamente compacto e o erro introduzido é pequeno para uma estimativa. (Se a tabela exata estivesse disponível, poder-se-ia usar o valor tabulado específico para
.)
Passo 6
Calcular o coeficiente convectivo médio
a partir de
(fórmula e significado):
A relação entre ,
,
e
é
A relação entre
Substituindo:
Interpretação:
diz quanto calor é transferido por unidade de área por grau de diferença entre
e a temperatura média do fluido.
Passo 7
Montar o balanço de energia e resolver para
(passo didático sobre equação diferencial do aquecimento):
Considere um pequeno elemento de comprimento do duto. A potência transferida para o fluido nesse trecho é
Considere um pequeno elemento de comprimento
onde
é o perímetro molhado e
é a temperatura média do fluido naquele plano
. Pelo balanço de energia, essa potência também aumenta a entalpia do fluido
Igualando e rearranjando obtém-se a ODE linear
Resolver essa ODE (fixa
constante) dá a solução
No extremo
(saída) tem-se
onde definimos o parâmetro
Isolando
da expressão acima:
Essa fórmula é prática: para um
constante e
constante, descreve o aquecimento exponencial do fluido ao longo do duto. (Nota: pode-se obter a mesma expressão reorganizando a solução da ODE.)
Passo 8
Calcular
, a exponencial e finalmente
numericamente:
- Primeiro
em unidades SI isso é . Vou usar . (Fique tranquilo, é só .) - Área de superfície total que troca calor ao longo de
é , mas no NTU usamos . Calcular:
- Calcular
:
- Substituir na fórmula de
:
Passo 9
Interpretação curta e observações finais (motivação para prova):
- Resultado:
. Faz sentido físico: a parede precisa estar um pouco mais quente do que a saída desejada porque há resistência convectiva entre parede e fluido; se fosse muito grande, se aproximaria de . - Principais hipóteses feitas (importante na prova):
tomada sem aviso; uso de (aproximação à conduta circular) para conduta retangular com ; escoamento laminar e termicamente desenvolvido (verificado). Se houver tabela específica de para razão de aspecto , usar esse valor melhora a precisão. - Dica prática para prova: sempre verifique Re e
; depois escolha a expressão de condizente (desenvolvido/entrante, laminar/turbulento, parede const ou const). A equação diferencial simples é a chave para obter a relação exponencial que permite isolar .
Resposta
85,16\ ^\circ\mathrm{C}