Considere um duto retangular liso de 10[\mathrm{~m}] de comprimento, com a=50[\mathrm{~mm}] e b=25[\mathrm{~mm}], mantido em uma temperatura de superfície constante. Água entra no tubo 20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] com vazão mássica de 0,01[\mathrm{~kg} / \mathrm{s}]. Determine a temperatura da superfície do tubo necessária para aquecer a água na temperatura de saída desejada de 80\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Propriedades do fluido: c_{\mathrm{p}}=4.181[\mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})], k= 0,644[W /(m \cdot K)], \mu=0,57 \times 10^{-3}\left[N \cdot s / m^{2}\right] e \operatorname{Pr}=3,55.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura de superfície T_s (temperatura constante da parede do duto) necessária para aquecer a água de T_{\mathrm{in}}=20\left[^\circ\mathrm{C}\right] até T_{\mathrm{out}}=80\left[^\circ\mathrm{C}\right], sabendo que a vazão mássica é \dot{m}=0,01\left[\mathrm{kg/s}\right] e o duto tem comprimento L=10\,[\mathrm{m}].
Informações fornecidas (peguei os valores geométricos da imagem):
  • Dimensões do retângulo: a=50\,[\mathrm{mm}]=0,05\,[\mathrm{m}] e b=25\,[\mathrm{mm}]=0,025\,[\mathrm{m}].
  • Comprimento do duto: L=10\,[\mathrm{m}] (dado no enunciado).
    Propriedades do fluido (fornecidas):
  • c_p=4{,}181\left[\mathrm{J/(kg\cdot K)}\right],
  • k=0{,}644\left[\mathrm{W/(m\cdot K)}\right],
  • \mu=0{,}57\times 10^{-3}\left[\mathrm{N\cdot s/m^2}\right],
  • \mathrm{Pr}=3{,}55.
Observações iniciais que vou usar sem perguntar nada: assumirei densidade da água \rho\approx 1000\left[\mathrm{kg/m^3}\right] porque não foi informada (valor apropriado para água na faixa de temperaturas consideradas). A solução exige avaliar o regime de escoamento (Re), verificar se o escoamento térmico está termicamente desenvolvido, obter um coeficiente de transferência de calor convectivo h e então resolver o balanço energético ao longo do comprimento para achar T_s.

Passo 2

Calcular área da seção, perímetro molhado e diâmetro hidráulico (conceitos):
  • Área da seção transversal (retângulo): \displaystyle A = a\cdot b. Aqui A é a área disponível para o escoamento.
A = 0{,}05\cdot 0{,}025 = 0{,}00125\\ \left[\mathrm{m^2}\right].
  • Perímetro molhado P (contorno interno que troca calor): \displaystyle P = 2(a+b).
P = 2(0{,}05+0{,}025)=0{,}15\\ \left[\mathrm{m}\right].
  • Diâmetro hidráulico \displaystyle D_h = \frac{4A}{P}. O diâmetro hidráulico é a dimensão característica usada em canais não circulares.
D_h = \frac{4\cdot 0{,}00125}{0{,}15}=0{,}033333\\ \left[\mathrm{m}\right]\\ (\approx 33{,}33\\ \mathrm{mm}).

Passo 3

Calcular velocidade média e número de Reynolds para classificar o regime (conceitos):
  • Vazão volumétrica \displaystyle \dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho}.
\dot{V}=\frac{0{,}01}{1000}=0{,}00001\\ \left[\mathrm{m^3/s}\right].
  • Velocidade média \displaystyle u = \frac{\dot{V}}{A}.
u=\frac{0{,}00001}{0{,}00125}=0{,}008\\ \left[\mathrm{m/s}\right].
  • Número de Reynolds \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho u D_h}{\mu}. Aqui \mathrm{Re} indica se o escoamento é laminar ( \mathrm{Re}\lesssim 2300) ou turbulento.
\mathrm{Re}=\frac{1000\cdot 0{,}008\cdot 0{,}033333}{0{,}57\times 10^{-3}} \approx 468.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx 468, portanto o escoamento é laminar.

Passo 4

Verificar se o escoamento térmico está termicamente desenvolvido (conceito de comprimento de entrada térmica):
Para escoamento laminar, um valor prático para o comprimento de entrada térmica é
L_{th}\approx 0{,}05\; \mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D_h,
onde \mathrm{Pr} é o número de Prandtl (fornecido). Calcular:
L_{th}\approx 0{,}05\cdot (468)\cdot(3{,}55)\cdot 0{,}033333 \approx 2{,}77\\ \mathrm{m}.
Como L=10\\ \mathrm{m} > L_{th}, o escoamento atinge a condição termicamente desenvolvida ao longo do duto. Assim, podemos usar valores de Nusselt correspondentes a escoamento termicamente desenvolvido laminar com parede de temperatura constante.

Passo 5

Escolha do número de Nusselt \mathrm{Nu} para duto retangular termicamente desenvolvido (explicação e justificativa):
  • O número de Nusselt \mathrm{Nu} relaciona a convecção ao transporte por condução: \mathrm{Nu}=\dfrac{h D_h}{k}, onde h é o coeficiente convectivo médio que queremos e k é a condutividade térmica do fluido.
  • Para escoamento laminar termicamente desenvolvido em conduta circular com parede à temperatura constante tem-se \mathrm{Nu}=3{,}66. Para condutas de seção retangular \mathrm{Nu} depende da razão de aspecto b/a. Aqui b/a=0{,}025/0{,}05=0{,}5. Tabelas detalhadas (Shah & London) mostram que, para razões de aspecto moderadas, o valor de \mathrm{Nu} fica próximo ao valor circular de 3{,}6 — ou seja, a diferença não é grande para b/a perto de 0{,}5.
  • Para simplificar (método prático e usado em provas quando não há tabela disponível) adotarei a aproximação
\mathrm{Nu}\approx 3{,}66,
justificando que o duto é relativamente compacto e o erro introduzido é pequeno para uma estimativa. (Se a tabela exata estivesse disponível, poder-se-ia usar o valor tabulado específico para b/a=0{,}5.)

Passo 6

Calcular o coeficiente convectivo médio h a partir de \mathrm{Nu} (fórmula e significado):
A relação entre \mathrm{Nu}, h, k e D_h é
\mathrm{Nu}=\frac{h D_h}{k}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_h}.
Substituindo:
h=\frac{3{,}66\cdot 0{,}644}{0{,}033333}\approx 70{,}8\\ \left[\mathrm{W/(m^2\cdot K)}\right].
Interpretação: h diz quanto calor é transferido por unidade de área por grau de diferença entre T_s e a temperatura média do fluido.

Passo 7

Montar o balanço de energia e resolver para T_s (passo didático sobre equação diferencial do aquecimento):
Considere um pequeno elemento de comprimento dx do duto. A potência transferida para o fluido nesse trecho é
\mathrm{d}Q = h\,P\,(T_s - T_m(x))\,\mathrm{d}x,
onde P é o perímetro molhado e T_m(x) é a temperatura média do fluido naquele plano x. Pelo balanço de energia, essa potência também aumenta a entalpia do fluido
\mathrm{d}Q = \dot{m}\,c_p\,\mathrm{d}T_m.
Igualando e rearranjando obtém-se a ODE linear
\dot{m}\,c_p\,\frac{\mathrm{d}T_m}{\mathrm{d}x}=h\,P\,(T_s - T_m).
Resolver essa ODE (fixa T_s constante) dá a solução
T_s - T_m(x) = (T_s - T_{\mathrm{in}})\,\exp\!\Big(-\frac{h\,P}{\dot{m}\,c_p}\,x\Big).
No extremo x=L (saída) tem-se
T_{\mathrm{out}} = T_s - (T_s - T_{\mathrm{in}})\,\exp(-\mathrm{NTU}),
onde definimos o parâmetro
\mathrm{NTU} \equiv \frac{h\,P\,L}{\dot{m}\,c_p}.
Isolando T_s da expressão acima:
T_s=\frac{T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}\,e^{-\mathrm{NTU}}}{1-e^{-\mathrm{NTU}}}.
Essa fórmula é prática: para um T_s constante e h constante, descreve o aquecimento exponencial do fluido ao longo do duto. (Nota: pode-se obter a mesma expressão reorganizando a solução da ODE.)

Passo 8

Calcular \mathrm{NTU}, a exponencial e finalmente T_s numericamente:
  • Primeiro \dot{m}c_p = 0{,}01\cdot 4{,}181 = 0{,}04181\\ \left[\mathrm{kW/K}\right] em unidades SI isso é 41{,}81\\ \mathrm{W/K}. Vou usar 41{,}81\\ \mathrm{W/K}. (Fique tranquilo, é só \dot{m}c_p.)
  • Área de superfície total que troca calor ao longo de L é P\cdot L = 0{,}15\cdot 10 = 1{,}5\\ \mathrm{m^2}, mas no NTU usamos hPL/(\dot{m}c_p). Calcular:
\mathrm{NTU}=\frac{h\,P\,L}{\dot{m}\,c_p}=\frac{70{,}75\cdot 0{,}15\cdot 10}{0{,}01\cdot 4{,}181}\approx \frac{106{,}125}{41{,}81}\approx 2{,}537.
  • Calcular e^{-\mathrm{NTU}}:
e^{-\mathrm{NTU}}=e^{-2{,}537}\approx 0{,}0792.
  • Substituir na fórmula de T_s:
T_s=\frac{80 - 20\cdot 0{,}0792}{1-0{,}0792}=\frac{80 - 1{,}584}{0{,}9208}=\frac{78{,}416}{0{,}9208}\approx 85{,}16\left[^\circ\mathrm{C}\right].

Passo 9

Interpretação curta e observações finais (motivação para prova):
  • Resultado: T_s\approx 85{,}2\left[^\circ\mathrm{C}\right]. Faz sentido físico: a parede precisa estar um pouco mais quente do que a saída desejada porque há resistência convectiva entre parede e fluido; se h fosse muito grande, T_s se aproximaria de T_{\mathrm{out}}.
  • Principais hipóteses feitas (importante na prova): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} tomada sem aviso; uso de \mathrm{Nu}\approx 3{,}66 (aproximação à conduta circular) para conduta retangular com b/a=0{,}5; escoamento laminar e termicamente desenvolvido (verificado). Se houver tabela específica de \mathrm{Nu} para razão de aspecto 0{,}5, usar esse valor melhora a precisão.
  • Dica prática para prova: sempre verifique Re e L_{th}; depois escolha a expressão de \mathrm{Nu} condizente (desenvolvido/entrante, laminar/turbulento, parede q''= const ou T_s= const). A equação diferencial simples \dot{m}c_p\,\mathrm{d}T_m/dx = hP(T_s-T_m) é a chave para obter a relação exponencial que permite isolar T_s.

Resposta

85,16\ ^\circ\mathrm{C}

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