(Questão 4-2,0 pontos) Um corpo sólido ocupando o espaço desde \mathrm{y}=0 até \mathrm{y}= infinito está inicialmente a \mathrm{T}_{0}. A partir de \mathrm{t}=0, um fluxo térmico periódico dado por \mathrm{q}_{\mathrm{y}}= q_{0} \cdot \cos (w t) é imposto em y=0. Aqui, qo é a amplitude da oscilação do fluxo térmico e w é a frequência (circular). Faça um esboço do problema e determinar a equação diferencial que descreve o fenômeno e suas condições de contorno e inicial. Obs: NÃO é preciso determinar a temperatura T(y, t), nesse sistema, no estado periódico estacionário.

Passo 1

O enunciado dá um corpo sólido semi-infinito ocupando y\ge 0, inicialmente à temperatura uniforme \,T_0. A partir de t=0 é imposto, em y=0, um fluxo térmico periódico
q_y(t)=q_0\cos(\omega t),
onde q_0 é a amplitude do fluxo (unidade: \mathrm{W/m^2}) e \omega é a frequência circular (unidade: \mathrm{rad/s}). O enunciado pede:
  • Fazer um esboço do problema.
  • Determinar a equação diferencial que descreve o fenômeno.
  • Indicar as condições de contorno e condição inicial correspondentes.
    Observação do enunciado: NÃO é preciso determinar T(y,t) no estado periódico estacionário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Geometria: domínio unidimensional semi-infinito y\in[0,\infty).
  • Condição inicial: temperatura em todo o domínio em t=0 é \,T(y,0)=T_0.
  • Condição de contorno na superfície y=0: fluxo térmico oscilante q_y(t)=q_0\cos(\omega t).
  • Condição de contorno no infinito: efeito do contorno à distância (espera-se que a perturbação térmica se anule quando y\to\infty).

Passo 2

Esboço físico (descrição e pequeno diagrama em texto).
  • Imagine o eixo y vertical com y=0 na superfície exposta ao fluxo e crescendo para dentro do sólido: y=0 (superfície) \rightarrow y\to\infty (interior profundo).
  • No instante t\ge0 entra um fluxo que varia no tempo como uma cossenoide e penetra no sólido, difundindo e aquecendo as camadas próximas da superfície.
Diagrama esquemático (ASCII):
y
^
superfície (y=0): q_y(t)=q_0\cos(\omega t)
T(y,t) varia com y e t
-----------------------------
y \longrightarrow\infty : T\to T_0
Comentários intuitivos: o fluxo de calor na superfície impõe uma taxa de entrada de energia; essa energia se difunde no sólido por condução. Para escrever a equação diferencial, usamos conservação de energia local + Lei de Fourier.

Passo 3

Derivação detalhada da equação de calor em 1D (passo a passo, com explicação das fórmulas usadas).
  1. Modelo local de energia (balanço): considere um elemento de volume entre y e y+dy com área de seção transversal unitária (1 m^2) e espessura dy. A energia interna por unidade de volume é \rho c T, onde:
    • \rho é a densidade do sólido (unidade: \mathrm{kg/m^3}),
    • c é o calor específico (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
    • T(y,t) é a temperatura (unidade: K ou ^\circC).
    A taxa de variação da energia interna do elemento é
    \text{variação de energia por unidade de tempo} = \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,dy.çã
    Explicação: \rho c\,T é energia por volume; derivando no tempo e multiplicando por dy dá a taxa total para o elemento.
  2. Fluxos de calor entrando/saindo: o fluxo térmico em direção positiva y é denotado q_y(y,t) (unidade: \mathrm{W/m^2}). O balanço de energia diz que a variação da energia interna do elemento é igual ao fluxo entrando no lado y menos o fluxo saindo no lado y+dy (a não ser que haja geração volumétrica, que aqui consideramos nula). Assim:
    \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,dy = q_y(y,t) - q_y(y+dy,t).
    Expandindo em série e dividindo por dy obtemos
    \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial q_y}{\partial y}.
    Observação: o sinal negativo aparece porque se o fluxo diminui com y há ganho de energia no elemento.
  3. Lei de Fourier (condução): a relação linear entre fluxo e gradiente de temperatura em materiais condutores é
    q_y(y,t) = -k\,\frac{\partial T}{\partial y},
    onde k é a condutividade térmica (unidade: \mathrm{W/(m\cdot K)}). Explicação da fórmula: o fluxo vai no sentido do gradiente negativo de temperatura; maior gradiente → maior fluxo; o sinal negativo estabelece a direção correta.
  4. Substituindo a Lei de Fourier no balanço:
    \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial y}\Big(-k\frac{\partial T}{\partial y}\Big) = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
    Portanto a equação diferencial que descreve a evolução térmica é
    \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
  5. Forma reduzida usando difusividade térmica: define-se a difusividade térmica
    \alpha=\frac{k}{\rho c}\quad(\text{unidade: }\mathrm{m^2/s}).
    Dividindo a equação por \rho c obtemos a forma mais usada da equação do calor unidimensional:
    \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
    Interpretação física de cada termo: \partial T/\partial t mede a taxa de variação temporal da temperatura num ponto; \alpha\,\partial^2 T/\partial y^2 mede a difusão espacial da temperatura (segundo derivada). Quanto maior \alpha, mais rápido a temperatura se nivela no espaço.

Passo 4

Especificação das condições de contorno e condição inicial (explicando cada uma).
  1. Condição inicial (toda a massa começa uniformemente à temperatura \,T_0):
    T(y,0)=T_0,\qquad y\ge 0.
    Explicação: define o estado térmico antes de aplicar o fluxo oscilante.
  2. Condição de contorno na superfície y=0 (fluxo imposto): pela definição do fluxo e pela Lei de Fourier (lembre: q_y=-k\,\partial T/\partial y e aqui q_y é o fluxo em y dirigido para dentro), em y=0 devemos ter
    -k\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}=q_y(0,t)=q_0\cos(\omega t).
    Observação sobre sinais: se q_0>0 e \cos(\omega t)>0 então o calor entra no sólido; a expressão acima é a igualdade direta entre o fluxo imposto e o fluxo determinado pelo gradiente de temperatura na superfície.
  3. Condição à distância (comportamento para y\to\infty): a perturbação gerada na superfície não alcança o infinito, então impõe-se que a temperatura profunda permaneça no valor inicial:
    \lim_{y\to\infty} T(y,t)=T_0,\qquad \text{para todo }t\ge0.
    Explicação: para um sólido semi-infinito a borda em infinito atua como reservatório térmico à temperatura inicial.
  4. Observação de compatibilidade em t=0: o fluxo é aplicado a partir de t=0 de modo brusco; isso é matematicamente aceitável — o gradiente inicial em y=0 ajusta-se para satisfazer a condição de fluxo. Não é necessário especificar \partial T/\partial t em t=0.

Passo 5

Comentários adicionais úteis (teoria prática para prova, sem resolver T(y,t)).
  1. Conjunto completo de equações: a equação do calor \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} com as condições indicadas define um problema inicial–contorno bem posto; tem solução única sob condições físicas razoáveis.
  2. Estado periódico estacionário (comentário físico): embora não se peça calcular T(y,t) no regime periódico permanente, vale saber que após tempo suficientemente grande a solução se torna periódica com a mesma frequência \omega do fluxo. Nessa solução periódica, a amplitude das oscilações de temperatura decai exponencialmente com y e há defasagem com y.
  3. Conceito útil (profundidade de penetração térmica): a escala de decaimento espacial das oscilações é dada por
    \delta=\sqrt{\frac{2\alpha}{\omega}}.
    Interpretação: camadas a profundidade y\gg \delta praticamente não sentem a oscilação; camadas com y\sim\delta experimentam redução significativa da amplitude. Esta fórmula é muito útil para estimar até que profundidade a oscilação do fluxo afeta o sólido.

Resposta

\boxed{\text{Governing PDE:}\quad \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}}
\text{ou, equivalentemente,}\quad \boxed{\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2},\quad \alpha=\frac{k}{\rho c}}
Condição inicial:
T(y,0)=T_0,\qquad y\ge 0
Condição de contorno na superfície y=0 (fluxo imposto):
-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}=q_0\cos(\omega t)
Condição no infinito:
\lim_{y\to\infty}T(y,t)=T_0,\qquad t\ge 0

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