(Questão 4-2,0 pontos) Um corpo sólido ocupando o espaço desde \mathrm{y}=0 até \mathrm{y}= infinito está inicialmente a \mathrm{T}_{0}. A partir de \mathrm{t}=0, um fluxo térmico periódico dado por \mathrm{q}_{\mathrm{y}}= q_{0} \cdot \cos (w t) é imposto em y=0. Aqui, qo é a amplitude da oscilação do fluxo térmico e w é a frequência (circular). Faça um esboço do problema e determinar a equação diferencial que descreve o fenômeno e suas condições de contorno e inicial. Obs: NÃO é preciso determinar a temperatura T(y, t), nesse sistema, no estado periódico estacionário.
Passo 1
O enunciado dá um corpo sólido semi-infinito ocupando y\ge 0, inicialmente à temperatura uniforme \,T_0. A partir de t=0 é imposto, em y=0, um fluxo térmico periódico
q_y(t)=q_0\cos(\omega t),
onde q_0 é a amplitude do fluxo (unidade: \mathrm{W/m^2}) e \omega é a frequência circular (unidade: \mathrm{rad/s}). O enunciado pede:
Fazer um esboço do problema.
Determinar a equação diferencial que descreve o fenômeno.
Indicar as condições de contorno e condição inicial correspondentes.
Observação do enunciado: NÃO é preciso determinar T(y,t) no estado periódico estacionário.
Condição inicial: temperatura em todo o domínio em t=0 é \,T(y,0)=T_0.
Condição de contorno na superfície y=0: fluxo térmico oscilante q_y(t)=q_0\cos(\omega t).
Condição de contorno no infinito: efeito do contorno à distância (espera-se que a perturbação térmica se anule quando y\to\infty).
Passo 2
Esboço físico (descrição e pequeno diagrama em texto).
Imagine o eixo y vertical com y=0 na superfície exposta ao fluxo e crescendo para dentro do sólido: y=0 (superfície) \rightarrowy\to\infty (interior profundo).
No instante t\ge0 entra um fluxo que varia no tempo como uma cossenoide e penetra no sólido, difundindo e aquecendo as camadas próximas da superfície.
Diagrama esquemático (ASCII):
y
^
superfície (y=0): q_y(t)=q_0\cos(\omega t)
T(y,t) varia com y e t
-----------------------------
y \longrightarrow\infty : T\to T_0
Comentários intuitivos: o fluxo de calor na superfície impõe uma taxa de entrada de energia; essa energia se difunde no sólido por condução. Para escrever a equação diferencial, usamos conservação de energia local + Lei de Fourier.
Passo 3
Derivação detalhada da equação de calor em 1D (passo a passo, com explicação das fórmulas usadas).
Modelo local de energia (balanço): considere um elemento de volume entre y e y+dy com área de seção transversal unitária (1 m^2) e espessura dy. A energia interna por unidade de volume é \rho c T, onde:
\rho é a densidade do sólido (unidade: \mathrm{kg/m^3}),
c é o calor específico (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
T(y,t) é a temperatura (unidade: K ou ^\circC).
A taxa de variação da energia interna do elemento é
\text{variação de energia por unidade de tempo} = \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,dy.
Explicação: \rho c\,T é energia por volume; derivando no tempo e multiplicando por dy dá a taxa total para o elemento.
Fluxos de calor entrando/saindo: o fluxo térmico em direção positiva y é denotado q_y(y,t) (unidade: \mathrm{W/m^2}). O balanço de energia diz que a variação da energia interna do elemento é igual ao fluxo entrando no lado y menos o fluxo saindo no lado y+dy (a não ser que haja geração volumétrica, que aqui consideramos nula). Assim:
Observação: o sinal negativo aparece porque se o fluxo diminui com y há ganho de energia no elemento.
Lei de Fourier (condução): a relação linear entre fluxo e gradiente de temperatura em materiais condutores é
q_y(y,t) = -k\,\frac{\partial T}{\partial y},
onde k é a condutividade térmica (unidade: \mathrm{W/(m\cdot K)}). Explicação da fórmula: o fluxo vai no sentido do gradiente negativo de temperatura; maior gradiente → maior fluxo; o sinal negativo estabelece a direção correta.
Interpretação física de cada termo: \partial T/\partial t mede a taxa de variação temporal da temperatura num ponto; \alpha\,\partial^2 T/\partial y^2 mede a difusão espacial da temperatura (segundo derivada). Quanto maior \alpha, mais rápido a temperatura se nivela no espaço.
Passo 4
Especificação das condições de contorno e condição inicial (explicando cada uma).
Condição inicial (toda a massa começa uniformemente à temperatura \,T_0):
T(y,0)=T_0,\qquad y\ge 0.
Explicação: define o estado térmico antes de aplicar o fluxo oscilante.
Condição de contorno na superfície y=0 (fluxo imposto): pela definição do fluxo e pela Lei de Fourier (lembre: q_y=-k\,\partial T/\partial y e aqui q_y é o fluxo em y dirigido para dentro), em y=0 devemos ter
Observação sobre sinais: se q_0>0 e \cos(\omega t)>0 então o calor entra no sólido; a expressão acima é a igualdade direta entre o fluxo imposto e o fluxo determinado pelo gradiente de temperatura na superfície.
Condição à distância (comportamento para y\to\infty): a perturbação gerada na superfície não alcança o infinito, então impõe-se que a temperatura profunda permaneça no valor inicial:
\lim_{y\to\infty} T(y,t)=T_0,\qquad \text{para todo }t\ge0.
Explicação: para um sólido semi-infinito a borda em infinito atua como reservatório térmico à temperatura inicial.
Observação de compatibilidade em t=0: o fluxo é aplicado a partir de t=0 de modo brusco; isso é matematicamente aceitável — o gradiente inicial em y=0 ajusta-se para satisfazer a condição de fluxo. Não é necessário especificar \partial T/\partial t em t=0.
Passo 5
Comentários adicionais úteis (teoria prática para prova, sem resolver T(y,t)).
Conjunto completo de equações: a equação do calor \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} com as condições indicadas define um problema inicial–contorno bem posto; tem solução única sob condições físicas razoáveis.
Estado periódico estacionário (comentário físico): embora não se peça calcular T(y,t) no regime periódico permanente, vale saber que após tempo suficientemente grande a solução se torna periódica com a mesma frequência \omega do fluxo. Nessa solução periódica, a amplitude das oscilações de temperatura decai exponencialmente com y e há defasagem com y.
Conceito útil (profundidade de penetração térmica): a escala de decaimento espacial das oscilações é dada por
\delta=\sqrt{\frac{2\alpha}{\omega}}.
Interpretação: camadas a profundidade y\gg \delta praticamente não sentem a oscilação; camadas com y\sim\delta experimentam redução significativa da amplitude. Esta fórmula é muito útil para estimar até que profundidade a oscilação do fluxo afeta o sólido.