1. 5 Um retificador de onda completa com terminal central é alimentado por uma fonte de 120 V . Se a indutância da carga for muito maior do que sua resistência, determine a tensào média de saída para os seguintes ângulos de disparo:
    c) 90^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tirei tudo do enunciado):
  • Fonte senoidal com tensão eficaz 120\\ \text{V}.
  • Retificador de onda completa com terminal central (ou seja, dois semicondutores que conduzem alternadamente cada meia‑onda do respectivo enrolamento).
  • A indutância da carga é muito maior do que a resistência (isto implica corrente praticamente contínua, não se anula entre meias‑ondas).
  • Deve-se determinar a tensão média (tensão média contínua de saída) para o ângulo de disparo \alpha = 90^\circ.
Informações relevantes extraídas: \,V_{\text{rms}}=120\\ \text{V}, carga altamente indutiva \Rightarrow corrente contínua, topologia = retificador com terminal central.

Passo 2

Entendendo o que acontece (passo didático): com terminal central e carga muito indutiva, cada semiciclo do secundário (cada meia‑onda) é aplicada à carga a partir do instante em que o respectivo tiristor é disparado (ângulo \alpha) até o final da meia‑onda ( \pi rad). Como a corrente é contínua, não há interrupção entre meias‑ondas; portanto a forma de tensão na saída é composta por trechos de senoides (cada meia‑onda ativa a partir de \alpha). Para calcular a tensão média usamos a simetria do retificador de onda completa: basta calcular a média no intervalo de 0 a \pi e dividir por \pi (média por unidade de radiano no meio‑ciclo), porque a forma é periódica de período 2\pi e cada meia‑onda fornece a mesma contribuição.
Explicando as variáveis que usaremos:
  • v_s(t)=V_m\sin(\omega t) é a tensão instantânea do enrolamento correspondente (o valor de pico é V_m).
  • V_{\text{rms}} é a tensão eficaz dada no enunciado ( 120\\ \text{V}).
  • Relação entre pico e eficaz: V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}.

Passo 3

Converter V_{\text{rms}} em pico:
V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 120
Portanto
V_m=120\sqrt{2}\\ \text{V}.

Passo 4

Montar a integral para a tensão média de saída V_{dc}. Pelo argumento de simetria explicado, a saída só está conduzindo na primeira meia‑onda de \theta=\alpha até \theta=\pi (e análogo na segunda meia‑onda). A média por período pode ser obtida como média no intervalo 0 a \pi com duração \pi. Logo:
V_{dc}=\frac{1}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta.
Aqui \theta=\omega t e a integral é em radianos.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
\int_{\alpha}^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta =V_m\big[-\cos\theta\big]_{\alpha}^{\pi} =V_m\big(-\cos\pi+\cos\alpha\big).
Sabendo que \cos\pi=-1, isso fica
V_m\big(-(-1)+\cos\alpha\big)=V_m(1+\cos\alpha).
Dividindo por \pi,
V_{dc}=\frac{V_m}{\pi}\,(1+\cos\alpha).
Comentário didático: essa é a expressão clássica para o valor médio de um retificador de onda completa com terminal central e corrente contínua. Cada meia‑onda contribui com a área do seno a partir de \alpha até \pi.

Passo 6

Aplicar \alpha=90^\circ. Primeiro exprima \cos em radianos mas como usamos grau comum:
\cos 90^\circ = 0.
Substituindo na expressão:
V_{dc}=\frac{V_m}{\pi}\,(1+0)=\frac{V_m}{\pi}.

Passo 7

Colocar o valor de V_m. Lembrando V_m=120\sqrt{2}:
V_{dc}=\frac{120\sqrt{2}}{\pi}\\ \text{V}.
Agora calcular numericamente:
120\sqrt{2}\approx 120\cdot 1,41421356\approx 169,7056
V_{dc}\approx\frac{169,7056}{3,14159265}\approx 54,02\\ \text{V}.
Arredondando razoavelmente: 54,0\\ \text{V}.

Resposta

54,0\\ \text{V}

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