1. 5 Um retificador de onda completa com terminal central é alimentado por uma fonte de 120 V . Se a indutância da carga for muito maior do que sua resistência, determine a tensào média de saída para os seguintes ângulos de disparo:
    d) 135^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede a tensão média de saída de um retificador de onda completa com terminal central, alimentado por uma fonte de 120\\ \text{V}, quando a indutância da carga é muito maior que a resistência (corrente praticamente contínua) e o ângulo de disparo é \alpha=135^{\circ}.
Informações dadas:
  • Tensão da fonte: 120\\ \text{V} (assumida como tensão eficaz RMS entre as extremidades do enrolamento secundário, isto é, tensão end-to-end do secundário).
  • Retificador: onda completa com terminal central (dois semiciclos conduzem alternadamente).
  • Carga indutiva: L\gg R (corrente praticamente contínua, sem intervalos de comutação onde a corrente zera).
  • Ângulo de disparo: \alpha=135^{\circ}.
    O que se pede: tensão média (valor médio, DC) na saída do retificador para esse \alpha.

Passo 2

Entender o circuito e qual fórmula usar (aqui vou explicar a física/fórmula com calma).
  1. Como o secundário é center-tapped, cada meia-onda é fornecida por uma metade do enrolamento. Se a tensão entre as extremidades do secundário é 120\\ \text{V} RMS, cada metade tem metade dessa tensão RMS. Portanto:
V_{1,\text{rms}}=\frac{120}{2}=60\\ \text{V}.
  1. A amplitude (valor de pico) da meia-tensão é
V_m = V_{1,\text{rms}}\sqrt{2}=60\sqrt{2}\\ \text{V}.
Explicação: para uma senoide v(t)=V_m\sin(\omega t), a relação RMS é V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2}, então V_m=V_{\text{rms}}\sqrt{2}.
  1. Para um retificador controlado de onda completa com corrente contínua (indutiva grande), cada tiristor conduz por um intervalo de \pi radianos e a forma média de saída é obtida integrando a tensão de cada meia-onda disparada. A expressão padrão (que podemos obter integrando a senoide entre os limites de condução) é
V_{DC}=\frac{1}{\pi}\int_{\alpha}^{\pi+\alpha} V_m\sin\theta\,d\theta.
Aqui:
  • V_{DC} é a tensão média sobre um período 2\pi.
  • \theta=\omega t é a variável angular.
  • \alpha é o ângulo de disparo medido a partir do cruzamento zero da meia-onda correspondente.
  1. Calcule analiticamente a integral:
V_{DC}=\frac{V_m}{\pi}\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\alpha}^{\pi+\alpha} =\frac{V_m}{\pi}\bigl(-\cos(\pi+\alpha)+\cos\alpha\bigr).
Usando \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, obtemos
V_{DC}=\frac{V_m}{\pi}\bigl(-(-\cos\alpha)+\cos\alpha\bigr)=\frac{2V_m}{\pi}\cos\alpha.
Portanto a fórmula final é
\boxed{V_{DC}=\dfrac{2V_m}{\pi}\cos\alpha.}
Explicação do que cada símbolo significa:
  • V_m: pico da tensão de cada meia-onda (já calculado acima).
  • \alpha: ângulo de disparo.
  • \pi: radiano equivalente a 180°; o fator 2/\pi vem da média sobre um período com condução de meia-onda por semiciclo.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos.
  1. Já temos V_m=60\sqrt{2}\\ \text{V}.
  2. Substituindo em \displaystyle V_{DC}=\frac{2V_m}{\pi}\cos\alpha:
V_{DC}=\frac{2\cdot(60\sqrt{2})}{\pi}\cos(135^{\circ}).
  1. Calculando \cos(135^{\circ}):
\cos(135^{\circ})=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  1. Substituindo:
V_{DC}=\frac{120\sqrt{2}}{\pi}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Multiplicando \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2:
V_{DC}=\frac{120\cdot 2}{2\pi}\cdot(-1)= -\frac{120}{\pi}\\ \text{V}.

Passo 4

Avaliação numérica e interpretação rápida.
  1. Valor numérico:
-\frac{120}{\pi}\\ \text{V}\approx -38,197\\ \text{V}\approx -38,20\\ \text{V}.
  1. Interpretação física curta: o sinal negativo aparece porque \alpha>90^{\circ} (de fato \alpha=135^{\circ}), o que faz com que a média da tensão de saída seja negativa — o retificador, nessa condição de disparo atrasado, passa a fornecer potência de volta (comportamento de inversão) ou simplesmente ter tensão média invertida. Isso é esperado para ângulos de disparo maiores que 90^{\circ} em retificadores controlados com carga indutiva contínua.

Resposta

-\dfrac{120}{\pi}\\ \text{V} \approx -38,20\\ \text{V}

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