7.3 Um retificador de três-pulsos fornece 20 A para uma carga resistiva. Se a tensão DC na carga for de 120 V , determine:
a) a corrente média no diodo
b) o valor nominal da PIV de cada diodo
c) a corrente RMS no diodo

Passo 1

O enunciado dá um retificador de três-pulsos que fornece uma corrente contínua à carga e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • Corrente DC na carga: I_{dc}=20\\ \text{A}.
  • Tensão DC na carga: V_{dc}=120\\ \text{V}.
    Perguntas:
    (a) calcular a corrente média em cada diodo;
    (b) determinar a PIV (peak inverse voltage) de cada diodo;
    (c) calcular a corrente RMS em cada diodo.
Informações relevantes que vamos usar (assunções padrão, explícitas):
  • Trata-se do retificador de três-pulsos (meia-onda trifásica ideal) com três diodos, fonte senoidal trifásica simétrica e carga resistiva pura. Cada diodo conduz por um intervalo de 120^\circ (ou 2\pi/3 rad) por ciclo, e em cada instante exatamente um diodo conduz.
  • Diodes e fonte ideais (queda de diodo desprezada).
  • Não foi fornecida a tensão da fonte; vamos relacionar V_{dc} com as amplitudes da fonte usando a expressão adequada ao retificador de 3-pulsos (ver dedução nos próximos passos).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a resistência da carga. Para uma carga puramente resistiva a relação óhmica entre a tensão média V_{dc}, a corrente média I_{dc} e a resistência R é
R=\frac{V_{dc}}{I_{dc}}.
Substituindo os dados:
R=\frac{120}{20}=6\\ \Omega.
Explicação curta: como a carga é resistiva, a tensão média sobre ela dividida pela corrente média dá a resistência — é a lei de Ohm aplicada à componente contínua.

Passo 3

Corrente média no diodo (questão (a)).
Raciocínio: em um retificador de três diodos, num ciclo inteiro a corrente média no load I_{dc} é a soma das correntes médias de cada diodo ao longo do período. Como por simetria cada diodo tem comportamento idêntico, a média de cada diodo é \dfrac{1}{3} da corrente DC total. Formalmente:
I_{d,avg}=\frac{I_{dc}}{3}.
Substituindo:
I_{d,avg}=\frac{20}{3}\approx6{,}6667\\ \text{A}.
Interpretação didática: cada diodo conduz em um terço do tempo, então a média temporal do seu corrente é um terço da corrente média entregue à carga.

Passo 4

Agora precisamos relacionar a tensão DC com as amplitudes da fonte para encontrar a PIV. Vamos definir as variáveis:
  • V_m = amplitude (valor de pico) da tensão de fase (fase para neutro) da fonte senoidal.
  • V_{LL,\text{peak}} = amplitude (pico) da tensão linha-a-linha = \sqrt{3}\,V_m.
    Para o retificador de três-pulsos (meia-onda trifásica padrão, sem neutro direto no ponto de saída), a tensão média DC obtida é dada por (padrão deduzido integrando a forma de onda):
V_{dc}=\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\;V_m.
Breve justificativa (didática, sem pular passos): essa fórmula vem de integrar a tensão de fase que está em evidência durante seu intervalo de condução de 120^\circ (de \pi/6 a 5\pi/6 para a fase considerada), somar os três intervalos iguais e dividir por 2\pi. A integral de \sin\theta sobre esse intervalo produz o fator \sqrt{3}, levando ao coeficiente \dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}.
Então isolamos V_m:
V_m=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\,V_{dc}.
Substituindo V_{dc}=120\\ \text{V}:
V_m=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot120 =\frac{240\pi}{3\sqrt{3}} =\frac{80\pi}{\sqrt{3}}\approx145{,}08\\ \text{V}.
Agora a amplitude linha-a-linha (pico) vale
V_{LL,\text{peak}}=\sqrt{3}\,V_m=\sqrt{3}\cdot\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}V_{dc}=\frac{2\pi}{3}V_{dc}.
Esta forma simplificada é útil: V_{LL,\text{peak}}=(2\pi/3)\,V_{dc}. Numericamente,
V_{LL,\text{peak}}=\frac{2\pi}{3}\cdot120\approx251{,}33\\ \text{V}.

Passo 5

PIV de cada diodo (questão (b)).
Explicação física: quando um diodo está reversamente polarizado, a máxima tensão reversa que ele precisa suportar é aproximadamente a máxima diferença entre a fase não condutora e a fase que está no potencial positivo — isto equivale à amplitude pico da tensão linha-a-linha. Portanto a PIV mínima (nominal) de cada diodo deve ser pelo menos
\text{PIV}=V_{LL,\text{peak}}.
Já calculamos:
\text{PIV}\approx251{,}33\\ \text{V}.
Observação prática: em projeto normalmente se escolhe uma margem de segurança sobre esse valor (ex.: 400–600 V dependendo do circuito), mas o valor teórico mínimo é esse.

Passo 6

Corrente RMS no diodo (questão (c)).
Raciocínio: a corrente de cada diodo durante seu intervalo de condução é a corrente da fase que conduz, igual a i(\theta)=\dfrac{V_m}{R}\sin\theta para \theta no intervalo de condução da fase correspondente. Para a fase A, o intervalo de condução (onde v_A é a maior das três) é \theta\in\big[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\big] (largura 120^\circ). Definimos
I_m=\frac{V_m}{R}.
A corrente RMS de um diodo é dada por
I_{d,\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} i_d^2(\theta)\,d\theta} =\sqrt{\frac{3}{2\pi}\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \big(I_m\sin\theta\big)^2 d\theta},
onde multiplicamos por 3 porque existem três intervalos idênticos (um para cada diodo) ao longo do período 2\pi.
Calculemos passo a passo:
  • Primeiro I_m:
I_m=\frac{V_m}{R}=\frac{145{,}0799}{6}\approx24{,}180\\ \text{A}.
  • O integral de \sin^2\theta entre \pi/6 e 5\pi/6 pode ser resolvido por identidade \sin^2\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos2\theta), ou diretamente:
\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin^2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}.
  • Portanto
I_{d,\text{rms}}^2=\frac{3I_m^2}{2\pi}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right) =I_m^2\left(\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8\pi}\right).
Logo
I_{d,\text{rms}}=I_m\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8\pi}}.
Agora os números:
\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8\pi}\approx0{,}70664238,\quad\sqrt{\cdot}\approx0{,}840338.
I_{d,\text{rms}} \approx24{,}180\times0{,}840338\approx20{,}32\\ \text{A}.

Resposta

I_{d,\text{avg}}=\dfrac{20}{3}\\ \text{A}\approx6{,}6667\\ \text{A}
\text{PIV}\approx251{,}33\\ \text{V}
I_{d,\text{rms}}\approx20{,}32\\ \text{A}

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