Sejam A=\{2,4\}, B=\{6\} e \varnothing o conjunto vazio.
Determine os subconjuntos de \{A\}-\{\{A\}\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os subconjuntos de \{A\}-\{\{A\}\}. As informações dadas são:
  • A=\{2,4\}.
  • B=\{6\}.
  • \varnothing denota o conjunto vazio.
Observação: o que interessa aqui é trabalhar com conjuntos que envolvem A e conjuntos que envolvem \{A\}. Não é necessário usar B nem \varnothing fornecidos, a não ser para comparar ou citar depois.

Passo 2

Definição importante (explicação didática): a diferença de conjuntos X-Y é
X-Y=\{x\in X \mid x\notin Y\}.
Ou seja, pega-se cada elemento de X e mantém-se apenas os que não pertencem a Y.
Também precisamos ter clareza sobre singleton e igualdade de conjuntos:
  • \{A\} é o conjunto cujo único elemento é A.
  • \{\{A\}\} é o conjunto cujo único elemento é \{A\}.
    Note que A e \{A\} são objetos diferentes: A=\{2,4\} enquanto \{A\}=\{\{2,4\}\}. Em particular, A\neq\{A\}.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente os elementos:
  • O conjunto \{A\} contém exatamente o elemento A. Ou seja,
\{A\}=\{\,A\,\}.
  • O conjunto \{\{A\}\} contém exatamente o elemento \{A\}. Ou seja,
\{\{A\}\}=\{\,\{A\}\,\}.
Agora verificamos se há elementos em comum entre \{A\} e \{\{A\}\}. O único elemento de \{A\} é A. O único elemento de \{\{A\}\} é \{A\}. Como vimos, A\neq\{A\}, logo A\notin\{\{A\}\}. Portanto
\{A\}\cap\{\{A\}\}=\varnothing.
Aplicando a definição de diferença,
\{A\}-\{\{A\}\}=\{x\in\{A\}\mid x\notin\{\{A\}\}\}=\{A\},
porque o elemento A permanece (não é eliminado).

Passo 4

Agora a tarefa é listar todos os subconjuntos de \{A\}-\{\{A\}\}. Como acabamos de obter que \{A\}-\{\{A\}\}=\{A\}, temos que trabalhar com os subconjuntos de um singleton.
Fato geral (rápida explicação): um conjunto com exatamente um elemento (um singleton) tem exatamente dois subconjuntos:
  1. O subconjunto vazio \varnothing.
  2. O próprio conjunto singleton.
Aplicando isso ao nosso caso, os subconjuntos de \{A\} são \varnothing e \{A\}.

Resposta

\{\varnothing,\{A\}\}

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