Sejam
e
o conjunto vazio.
Determine os subconjuntos de
.
Determine os subconjuntos de
Passo 1
O enunciado pede para determinar os subconjuntos de
. As informações dadas são:
-
. -
. -
denota o conjunto vazio.
Observação: o que interessa aqui é trabalhar com conjuntos que envolvem
e conjuntos que envolvem
. Não é necessário usar
nem
fornecidos, a não ser para comparar ou citar depois.
Passo 2
Definição importante (explicação didática): a diferença de conjuntos
é
Ou seja, pega-se cada elemento de
e mantém-se apenas os que não pertencem a
.
Também precisamos ter clareza sobre singleton e igualdade de conjuntos:
-
é o conjunto cujo único elemento é . -
é o conjunto cujo único elemento é .
Note quee são objetos diferentes: enquanto . Em particular, .
Passo 3
Vamos escrever explicitamente os elementos:
- O conjunto
contém exatamente o elemento . Ou seja,
- O conjunto
contém exatamente o elemento . Ou seja,
Agora verificamos se há elementos em comum entre
e
. O único elemento de
é
. O único elemento de
é
. Como vimos,
, logo
. Portanto
Aplicando a definição de diferença,
porque o elemento
permanece (não é eliminado).
Passo 4
Agora a tarefa é listar todos os subconjuntos de
. Como acabamos de obter que
, temos que trabalhar com os subconjuntos de um singleton.
Fato geral (rápida explicação): um conjunto com exatamente um elemento (um singleton) tem exatamente dois subconjuntos:
- O subconjunto vazio
. - O próprio conjunto singleton.
Aplicando isso ao nosso caso, os subconjuntos de
são
e
.