[2,5 pontos] Seja C uma coleção de pontos (que serão denotados por lettrad mi Seja < uma relação em C. Dizemos que C é parcialmente ordenado pęca se os seguintes axiomas são válidos:
C1. x<x para cada x \in C.
C2. Para quaisquer x, y \in C, se x \prec y e y \prec x então x=y.
C3. Para quaisquer x, y, z \in C, se x<y e y<z então x<z.
(a) Quais são os termos indefinidos neste sistema de axiomas?
(b) Complete a definição: Um sistema de axiomas é dito consistente sef
\_\_\_\_
(c) Mostre que o sistema de axiomas é consistente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece uma coleção C de pontos (os elementos) e uma relação denotada por algum símbolo (no texto aparecem tanto < quanto \prec; vou usar \prec nas fórmulas) definida em C.
  • Axiomas (dados):
\text{C1. } x\prec x\quad\text{para todo }x\in C.
\text{C2. } \text{Para quaisquer }x,y\in C,\\ \text{se }x\prec y\text{ e }y\prec x\text{ então }x=y.ã
\text{C3. } \text{Para quaisquer }x,y,z\in C,\\ \text{se }x\prec y\text{ e }y\prec z\text{ então }x\prec z.ã
  • Perguntas:
    (a) Quais são os termos indefinidos neste sistema de axiomas?
    (b) Completar a definição: “Um sistema de axiomas é dito consistente se ____”.
    (c) Mostrar que o sistema de axiomas é consistente.
Não vou começar a resolver aqui; só deixei claro o que é dado e o que é pedido.

Passo 2

O que significa “termos indefinidos” e como encontrá-los aqui (aula curtinha e direta).
  • Em um sistema axiomático, termos indefinidos (ou primitivos) são as palavras/símbolos que o sistema toma como sem definição dentro do próprio sistema. Eles servem como blocos de construção: os axiomas dizem propriedades desses termos, mas não os definem em termos de conceitos mais básicos.
  • Exemplos típicos: em geometria eu tenho “ponto”, “reta” como termos indefinidos; em teoria dos conjuntos posso ter “conjunto” e “pertence” etc.
  • Para detectar os termos indefinidos, olhe para os símbolos que aparecem nos axiomas mas não são definidos ali: geralmente o nome do universo (aqui C) e o símbolo da relação (aqui \prec ou <).
Resposta específica ao item (a): os termos indefinidos são
  • o símbolo que nomeia a coleção de elementos C (ou “pontos” do sistema);
  • o símbolo da relação \prec (o símbolo que expressa “é relacionado a” / “é menor que” no contexto dos axiomas).
    Observação didática: as letras variáveis x,y,z não são termos indefinidos — são apenas variáveis que se referem aos elementos de C. O símbolo de igualdade = é geralmente considerado um símbolo lógico/atenção padrão; o primitivo relevante para as propriedades é a relação \prec.

Passo 3

Completar a definição de consistência (item (b)) — explicação e preenchimento.
  • Intuição: um sistema de axiomas é inconsistente se dele se pode deduzir uma contradição (algo e a sua negação). Se isso acontece, qualquer afirmação passa a ser deduzível (explosão lógica), então queremos evitar isso.
  • Há duas maneiras equivalentes de dizer “consistente”:
    1. Sintática: não existe uma fórmula P tal que tanto P quanto \lnot P sejam deduzíveis a partir dos axiomas.
    2. Semântica (modelo): existe uma interpretação (um modelo) em que todos os axiomas são verdadeiros.
Preenchimento pedido:
  • “Um sistema de axiomas é dito consistente se não se pode deduzir, a partir dos axiomas, uma proposição e a sua negação simultaneamente.”
    Em notação: o sistema é consistente se não existe P tal que sejam deduzíveis P e \lnot P.

Passo 4

Estratégia para mostrar consistência (explicando o método que vou usar).
  • A maneira mais prática para mostrar que um sistema axiomático é consistente é exibir um modelo: escolher um conjunto concreto para C e interpretar a relação \prec por alguma relação concreta, e verificar que os axiomas ficam verdadeiros nessa interpretação.
  • Por que isso basta? Porque se todos os axiomas são verdadeiros em alguma interpretação, então não é possível que deles se deduza uma contradição (uma contradição não pode ser verdadeira num modelo onde tudo o que se assume é verdadeiro). Portanto a existência de um modelo prova a consistência semântica do sistema.
Vou construir um modelo simples e verificar os axiomas um a um.

Passo 5

Construção do modelo concreto e verificação dos axiomas (prova da consistência — item (c)).
  • Tomemos como interpretação: C = \mathbb{N},ou seja, os elementos de C são os números naturais.
  • Interpretemos o símbolo \prec como a relação \le (menor ou igual) entre naturais. Em palavras: a\prec b será interpretado como a\le b.
Agora verifico cada axioma nessa interpretação:
  1. Verificação de C1 (reflexividade):
\text{Para todo }n\in\mathbb{N},\quad n\le n.
Explicação: todo número natural é menor ou igual a si mesmo; isto é uma propriedade básica de \le. Portanto C1 é satisfeita no modelo.
  1. Verificação de C2 (antissimetria):
\text{Se }n\le m\text{ e }m\le n\text{ então }n=m.ã
Explicação: para \le sobre naturais, se n\le m e m\le n então não há diferença entre n e m; isso implica n=m. Logo C2 é satisfeita.
  1. Verificação de C3 (transitividade):
\text{Se }n\le m\text{ e }m\le k\text{ então }n\le k.ã
Explicação: a relação \le é transitiva nos naturais; portanto C3 é satisfeita.
  • Conclusão desta verificação: todos os axiomas C1, C2, C3 são verdadeiros na interpretação (C,\prec)=(\mathbb{N},\le). Assim essa interpretação é um modelo do conjunto de axiomas.

Passo 6

Conclusão final sobre consistência.
  • Como exibimos um modelo (isto é, uma interpretação concreta na qual todos os axiomas são verdadeiros), pelo argumento semântico mostrado no Passo 4 o sistema de axiomas é consistente: não se pode derivar uma contradição a partir desses axiomas.
  • Observação pedagógica: qualquer outro exemplo de conjunto parcialmente ordenado (por exemplo (\mathbb{Z},\le), (\mathbb{R},\le) ou um conjunto com a relação de inclusão \subseteq entre subconjuntos) também fornece modelos válidos; a existência de pelo menos um modelo é o que importa.

Resposta

(a) Os termos indefinidos são o nome da coleção C (os “pontos”) e o símbolo da relação \prec.
(b) Um sistema de axiomas é dito consistente se não se pode deduzir, a partir dos axiomas, uma proposição e a sua negação simultaneamente.
(c) O sistema é consistente; por exemplo, tomando C=\mathbb{N} e interpretando \prec como \le, os axiomas C1, C2 e C3 são satisfeitos, portanto existe um modelo e o sistema é consistente.

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