pontos] Seja
uma coleção de pontos (que serão denotados por lettrad mi Seja < uma relação em
. Dizemos que
é parcialmente ordenado pęca se os seguintes axiomas são válidos:
C1.
para cada
.
C2. Para quaisquer
, se
e
então
.
C3. Para quaisquer
, se
e
então
.
(a) Quais são os termos indefinidos neste sistema de axiomas?
(b) Complete a definição: Um sistema de axiomas é dito consistente sef
(c) Mostre que o sistema de axiomas é consistente.
C1.
C2. Para quaisquer
C3. Para quaisquer
(a) Quais são os termos indefinidos neste sistema de axiomas?
(b) Complete a definição: Um sistema de axiomas é dito consistente sef
(c) Mostre que o sistema de axiomas é consistente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece uma coleção
de pontos (os elementos) e uma relação denotada por algum símbolo (no texto aparecem tanto quanto ; vou usar nas fórmulas) definida em . - Axiomas (dados):
- Perguntas:
(a) Quais são os termos indefinidos neste sistema de axiomas?
(b) Completar a definição: “Um sistema de axiomas é dito consistente se ____”.
(c) Mostrar que o sistema de axiomas é consistente.
Não vou começar a resolver aqui; só deixei claro o que é dado e o que é pedido.
Passo 2
O que significa “termos indefinidos” e como encontrá-los aqui (aula curtinha e direta).
- Em um sistema axiomático, termos indefinidos (ou primitivos) são as palavras/símbolos que o sistema toma como sem definição dentro do próprio sistema. Eles servem como blocos de construção: os axiomas dizem propriedades desses termos, mas não os definem em termos de conceitos mais básicos.
- Exemplos típicos: em geometria eu tenho “ponto”, “reta” como termos indefinidos; em teoria dos conjuntos posso ter “conjunto” e “pertence” etc.
- Para detectar os termos indefinidos, olhe para os símbolos que aparecem nos axiomas mas não são definidos ali: geralmente o nome do universo (aqui
) e o símbolo da relação (aqui ou ).
Resposta específica ao item (a): os termos indefinidos são
- o símbolo que nomeia a coleção de elementos
(ou “pontos” do sistema); - o símbolo da relação
(o símbolo que expressa “é relacionado a” / “é menor que” no contexto dos axiomas).
Observação didática: as letras variáveisnão são termos indefinidos — são apenas variáveis que se referem aos elementos de . O símbolo de igualdade é geralmente considerado um símbolo lógico/atenção padrão; o primitivo relevante para as propriedades é a relação .
Passo 3
Completar a definição de consistência (item (b)) — explicação e preenchimento.
- Intuição: um sistema de axiomas é inconsistente se dele se pode deduzir uma contradição (algo e a sua negação). Se isso acontece, qualquer afirmação passa a ser deduzível (explosão lógica), então queremos evitar isso.
- Há duas maneiras equivalentes de dizer “consistente”:
- Sintática: não existe uma fórmula
tal que tanto quanto sejam deduzíveis a partir dos axiomas. - Semântica (modelo): existe uma interpretação (um modelo) em que todos os axiomas são verdadeiros.
- Sintática: não existe uma fórmula
Preenchimento pedido:
- “Um sistema de axiomas é dito consistente se não se pode deduzir, a partir dos axiomas, uma proposição e a sua negação simultaneamente.”
Em notação: o sistema é consistente se não existetal que sejam deduzíveis e .
Passo 4
Estratégia para mostrar consistência (explicando o método que vou usar).
- A maneira mais prática para mostrar que um sistema axiomático é consistente é exibir um modelo: escolher um conjunto concreto para
e interpretar a relação por alguma relação concreta, e verificar que os axiomas ficam verdadeiros nessa interpretação. - Por que isso basta? Porque se todos os axiomas são verdadeiros em alguma interpretação, então não é possível que deles se deduza uma contradição (uma contradição não pode ser verdadeira num modelo onde tudo o que se assume é verdadeiro). Portanto a existência de um modelo prova a consistência semântica do sistema.
Vou construir um modelo simples e verificar os axiomas um a um.
Passo 5
Construção do modelo concreto e verificação dos axiomas (prova da consistência — item (c)).
- Tomemos como interpretação:
ou seja, os elementos de são os números naturais. - Interpretemos o símbolo
como a relação (menor ou igual) entre naturais. Em palavras: será interpretado como .
Agora verifico cada axioma nessa interpretação:
- Verificação de C1 (reflexividade):
Explicação: todo número natural é menor ou igual a si mesmo; isto é uma propriedade básica de
. Portanto C1 é satisfeita no modelo.
- Verificação de C2 (antissimetria):
Explicação: para
sobre naturais, se
e
então não há diferença entre
e
; isso implica
. Logo C2 é satisfeita.
- Verificação de C3 (transitividade):
Explicação: a relação
é transitiva nos naturais; portanto C3 é satisfeita.
- Conclusão desta verificação: todos os axiomas C1, C2, C3 são verdadeiros na interpretação
. Assim essa interpretação é um modelo do conjunto de axiomas.
Passo 6
Conclusão final sobre consistência.
- Como exibimos um modelo (isto é, uma interpretação concreta na qual todos os axiomas são verdadeiros), pelo argumento semântico mostrado no Passo 4 o sistema de axiomas é consistente: não se pode derivar uma contradição a partir desses axiomas.
- Observação pedagógica: qualquer outro exemplo de conjunto parcialmente ordenado (por exemplo
, ou um conjunto com a relação de inclusão entre subconjuntos) também fornece modelos válidos; a existência de pelo menos um modelo é o que importa.
Resposta
(a) Os termos indefinidos são o nome da coleção
(os “pontos”) e o símbolo da relação
.
(b) Um sistema de axiomas é dito consistente se não se pode deduzir, a partir dos axiomas, uma proposição e a sua negação simultaneamente.
(c) O sistema é consistente; por exemplo, tomando e interpretando
como
, os axiomas C1, C2 e C3 são satisfeitos, portanto existe um modelo e o sistema é consistente.
(b) Um sistema de axiomas é dito consistente se não se pode deduzir, a partir dos axiomas, uma proposição e a sua negação simultaneamente.
(c) O sistema é consistente; por exemplo, tomando