Sejam a e b números reais tais que:
a=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{5 x}-1}{x} \quad \text { e } \quad b=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x^{2}\right)-1}{x^{2}}
É CORRETO afirmar que:
(a) a b=0.
(b) a=b.
(c) a+b<0.
(d) a b>0.
(e) a-b<0.

Passo 1

O enunciado dá duas definições de limites e pede que identifiquemos qual das alternativas abaixo é verdadeira:
  • Temos a=\lim_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-1}{x}.
  • Temos b=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos\left(x^{2}\right)-1}{x^{2}}.
As alternativas são:
(a) ab=0.
(b) a=b.
(c) a+b<0.
(d) ab>0.
(e) a-b<0.

Passo 2

Vamos calcular a. Uma técnica simples é fazer a substituição \,u=5x\,. Quando x\to0 também temos u\to0. Reescrevendo:
a=\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{x} =\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Como u=5x segue \dfrac{u}{x}=5. Portanto
a=5\cdot\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}.
Agora lembrar um fato básico sobre a função exponencial: a derivada de e^{t} no ponto t=0 é 1, e isso é exatamente a afirmação
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
(Alternativamente isso vem da expansão em série e^{u}=1+u+o(u).) Assim
a=5\cdot 1=5.

Passo 3

Agora calculamos b. Façamos a substituição \,t=x^{2}. Quando x\to0 tem-se t\to0. Escrevendo:
b=\lim_{x\to0}\frac{\cos(x^{2})-1}{x^{2}} =\lim_{t\to0}\frac{\cos t-1}{t},
pois t/x^{2}=1. Agora investigamos \lim_{t\to0}\dfrac{\cos t-1}{t}. Usando a expansão em série de \cos t para t pequeno:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2}).
Substituindo na razão:
\frac{\cos t-1}{t} = \frac{-\dfrac{t^{2}}{2} + o(t^{2})}{t} = -\frac{t}{2} + o(t).
Quando t\to0 isso tende a 0. Portanto
b=0.

Passo 4

Resumindo: \,a=5 e \,b=0.
Agora verificamos cada alternativa:
  • (a) ab=5\cdot 0=0. Isso é verdadeiro.
  • (b) a=b seria 5=0, falso.
  • (c) a+b<0 seria 5+0<0, falso.
  • (d) ab>0 seria 0>0, falso.
  • (e) a-b<0 seria 5-0<0, falso.
Só a alternativa (a) é correta.

Resposta

(a)

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