Sejam
e
números reais tais que:
É CORRETO afirmar que:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá duas definições de limites e pede que identifiquemos qual das alternativas abaixo é verdadeira:
- Temos
. - Temos
.
As alternativas são:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
Vamos calcular
. Uma técnica simples é fazer a substituição
. Quando
também temos
. Reescrevendo:
Como
segue
. Portanto
Agora lembrar um fato básico sobre a função exponencial: a derivada de
no ponto
é 1, e isso é exatamente a afirmação
(Alternativamente isso vem da expansão em série
.) Assim
Passo 3
Agora calculamos
. Façamos a substituição
. Quando
tem-se
. Escrevendo:
pois
. Agora investigamos
. Usando a expansão em série de
para
pequeno:
Substituindo na razão:
Quando
isso tende a
. Portanto
Passo 4
Resumindo:
e
.
Agora verificamos cada alternativa:
- (a)
. Isso é verdadeiro. - (b)
seria , falso. - (c)
seria , falso. - (d)
seria , falso. - (e)
seria , falso.
Só a alternativa (a) é correta.
Resposta
(a)