O teorema do trabalho-energia diz que a variação da energia potencial de um corpo é igual ao trabalho líquido realizado sobre ele.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que “o teorema do trabalho-energia afirma que a variação da energia potencial de um corpo é igual ao trabalho líquido realizado sobre ele”. Estamos na matéria de Mecânica (Energia e Trabalho). Para resolver isso a gente vai precisar:
  1. Saber o que é trabalho de uma força (definição integral);
  2. Entender o que é força conservativa e a relação dela com a energia potencial;
  3. Fazer uma integração para mostrar que, de fato, ΔU fica igual ao W líquido.

Passo 2

Primeiro, lembra que o trabalho realizado por uma força W = integralA^B vec F cdot dvec r ao deslocar o corpo de um ponto A até um ponto B é
Isso vem da definição básica de trabalho em Física: projeta a força ao longo do deslocamento e integra.

Passo 3

Agora, se a força for conservativa (como a gravidade, mola ideal etc.), a gente consegue definir uma energia potencial vec F(vec r) = -nabla U(vec r) tal que
F(x) = -dUdx
Em uma dimensão (para simplificar), isso vira
dU = dUdx,dx = -F(x),dx
Então, num deslocamento de até ,

Passo 4

Integramos De de A até B:
De
Mas é exatamente o trabalho que a força faz. Logo:

Passo 5

No enunciado eles dizem “variação da energia potencial é igual ao trabalho líquido”. Alguns autores definem o trabalho líquido já com o sinal trocado (ou consideram o trabalho feito pelo campo em vez do corpo), e aí aparece
Deí
De toda forma, o resultado é mostrar que mudar a energia potencial é a mesma coisa que fazer trabalho.

Resposta

Mostramos que, para forças conservativas, a variação da energia potencial boxedDe é igual (ou de sinal oposto, dependendo da convenção) ao trabalho líquido . Na convenção do enunciado:
í

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