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) Uma máquina de 400 kg é colocada sobre um piso vibrante. Contudo, entre a base da máquina e o piso, foram inseridas molas com rigidez total de
e amortecedores com coeficiente de amortecimento total desconhecido. Após a montagem, verificou-se que a máquina entra em ressonância e é observada vibrar com amplitude de 10 mm , enquanto o piso vibra com amplitude máxima de
. Calcule o coeficiente de amortecimento total do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Massa da máquina:
. - Rigidez total das molas:
. - Amplitude máxima do piso (excitação):
. - Amplitude máxima observada da máquina (movimento absoluto da massa):
. - Observação importante: o sistema entrou em ressonância (isto é, a frequência de excitação é igual à frequência natural do sistema).
- O que se pede: calcular o coeficiente de amortecimento total
do sistema.
(Nota rápida: vou usar metros nas contas; portanto converterei as amplitudes para metros quando necessário.)
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento (aula rápida e calma).
- Considere um sistema massa-mola-amortecedor com base móvel. Denotando por
o deslocamento absoluto da massa e por o deslocamento da base (piso), é útil trabalhar com o deslocamento relativo
- A equação diferencial do movimento em coordenada relativa é
onde:
-
é a massa (em ); -
é o coeficiente de amortecimento (em ); -
é a rigidez (em ); -
e são segunda e primeira derivadas temporais de ; - o termo
é a força inercial causada pela aceleração da base. - Explicação do porquê: a mola e o amortecedor agem sobre a deflexão relativa
, enquanto a base acelerada impõe uma “força” equivalente que excita o sistema.
Passo 3
Resposta harmônica em regime permanente (obtendo fórmula de transmissibilidade).
- Assuma excitação harmônica:
. Então . - Procuramos solução harmônica para
com amplitude . Substituindo e trabalhando com fasores (forma complexa), obtém-se a amplitude relativa
- Introduzindo frequência natural
e razão de amortecimento adimensional : -
(freq. natural em ); -
(amortecimento adimensional).
-
- Reescrevendo em termos de
(razão de frequências) obtemos a forma clássica
- Comentário didático: esta fórmula dá a amplitude do deslocamento relativo
em função da amplitude da base , da razão de frequência e de . É obtida diretamente ao substituir e e simplificar.
Passo 4
Amplitude absoluta da massa e caso de ressonância.
- A amplitude absoluta da massa (o que foi observado no enunciado) é o módulo da soma fasorial entre deslocamento relativo e deslocamento da base:
- Em termos de magnitudes e fases, não se soma simplesmente
numericamente; é preciso considerar a fase relativa entre e . - No caso especial da ressonância linear para excitação da base, temos
. Substituindo na fórmula do passo anterior:
- A fase de
em relação a quando é de (ou seja, é defasado em ), o que se representa no fasor por . - Então o fasor da amplitude absoluta é
e seu módulo é
- Esta relação é muito útil: em ressonância a razão entre amplitude absoluta da massa e amplitude da base depende só de
.
Passo 5
Usar os dados observados para encontrar
.
- Converter amplitudes para metros:
-
. -
.
-
- Razão experimental entre amplitudes:
- Igualando à fórmula em ressonância:
- Eleve ao quadrado e resolva para
:
Passo 6
Calcular o coeficiente de amortecimento
.
- Primeiro calcule a frequência natural
:
- Relação entre
e :
- Substituindo valores:
- Cálculo numérico:
- Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos: