1 { }^{\text {a }} ) Uma máquina de 400 kg é colocada sobre um piso vibrante. Contudo, entre a base da máquina e o piso, foram inseridas molas com rigidez total de 40.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e amortecedores com coeficiente de amortecimento total desconhecido. Após a montagem, verificou-se que a máquina entra em ressonância e é observada vibrar com amplitude de 10 mm , enquanto o piso vibra com amplitude máxima de 2,5 \mathrm{~mm}. Calcule o coeficiente de amortecimento total do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Massa da máquina: m=400\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez total das molas: k=40\,000\\ \mathrm{N/m}.
  • Amplitude máxima do piso (excitação): Y=2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Amplitude máxima observada da máquina (movimento absoluto da massa): X=10\\ \mathrm{mm}.
  • Observação importante: o sistema entrou em ressonância (isto é, a frequência de excitação é igual à frequência natural do sistema).
  • O que se pede: calcular o coeficiente de amortecimento total c do sistema.
(Nota rápida: vou usar metros nas contas; portanto converterei as amplitudes para metros quando necessário.)

Passo 2

Modelo físico e equação do movimento (aula rápida e calma).
  • Considere um sistema massa-mola-amortecedor com base móvel. Denotando por x(t) o deslocamento absoluto da massa e por y(t) o deslocamento da base (piso), é útil trabalhar com o deslocamento relativo
u(t)=x(t)-y(t).
  • A equação diferencial do movimento em coordenada relativa é
m\,u''(t)+c\,u'(t)+k\,u(t)=-m\,y''(t),
onde:
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • c é o coeficiente de amortecimento (em \mathrm{N\,s/m});
  • k é a rigidez (em \mathrm{N/m});
  • u'' e u' são segunda e primeira derivadas temporais de u;
  • o termo -m y''(t) é a força inercial causada pela aceleração da base.
  • Explicação do porquê: a mola e o amortecedor agem sobre a deflexão relativa u, enquanto a base acelerada impõe uma “força” equivalente -m y'' que excita o sistema.

Passo 3

Resposta harmônica em regime permanente (obtendo fórmula de transmissibilidade).
  • Assuma excitação harmônica: y(t)=Y\sin(\omega t). Então y''(t)=-\omega^{2}Y\sin(\omega t).
  • Procuramos solução harmônica para u(t) com amplitude U. Substituindo e trabalhando com fasores (forma complexa), obtém-se a amplitude relativa
\frac{U}{Y}=\frac{m\omega^{2}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
  • Introduzindo frequência natural \omega_{n} e razão de amortecimento adimensional \zeta:
    • \displaystyle \omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}} (freq. natural em \mathrm{rad/s});
    • \displaystyle \zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}} (amortecimento adimensional).
  • Reescrevendo em termos de r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}} (razão de frequências) obtemos a forma clássica
\frac{U}{Y}=\frac{r^{2}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}.
  • Comentário didático: esta fórmula dá a amplitude do deslocamento relativo U em função da amplitude da base Y, da razão de frequência r e de \zeta. É obtida diretamente ao substituir k=m\omega_n^2 e c=2m\omega_n\zeta e simplificar.

Passo 4

Amplitude absoluta da massa e caso de ressonância.
  • A amplitude absoluta da massa (o que foi observado no enunciado) é o módulo da soma fasorial entre deslocamento relativo e deslocamento da base:
X=|U+Y|.
  • Em termos de magnitudes e fases, não se soma simplesmente U+Y numericamente; é preciso considerar a fase relativa entre U e Y.
  • No caso especial da ressonância linear para excitação da base, temos r=1. Substituindo r=1 na fórmula do passo anterior:
\frac{U}{Y}=\frac{1}{2\zeta}.
  • A fase de U em relação a Y quando r=1 é de -90^\circ (ou seja, U é defasado em -\tfrac{\pi}{2}), o que se representa no fasor por U=-\mathrm{i}\,\dfrac{1}{2\zeta}Y.
  • Então o fasor da amplitude absoluta é X=Y\left(1-\mathrm{i}\,\dfrac{1}{2\zeta}\right) e seu módulo é
\frac{X}{Y}=\sqrt{1+\frac{1}{4\zeta^{2}}}.
  • Esta relação é muito útil: em ressonância a razão entre amplitude absoluta da massa e amplitude da base depende só de \zeta.

Passo 5

Usar os dados observados para encontrar \zeta.
  • Converter amplitudes para metros:
    • Y=2{,}5\\ \mathrm{mm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • X=10\\ \mathrm{mm}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Razão experimental entre amplitudes:
\frac{X}{Y}=\frac{10\times10^{-3}}{2{,}5\times10^{-3}}=4.
  • Igualando à fórmula em ressonância:
4=\sqrt{1+\frac{1}{4\zeta^{2}}}.
  • Eleve ao quadrado e resolva para \zeta:
16=1+\frac{1}{4\zeta^{2}}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{4\zeta^{2}}=15\quad\Rightarrow\quad \zeta^{2}=\frac{1}{60}.
\zeta=\frac{1}{\sqrt{60}}\approx0{,}129099\ldots

Passo 6

Calcular o coeficiente de amortecimento c.
  • Primeiro calcule a frequência natural \omega_{n}:
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{40\,000}{400}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Relação entre c e \zeta:
c=2m\omega_{n}\zeta.
  • Substituindo valores:
c=2\cdot 400\cdot 10\cdot\frac{1}{\sqrt{60}}=8000\cdot\frac{1}{\sqrt{60}}\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
  • Cálculo numérico:
c\approx 8000\times0{,}12909944\approx 1032{,}7956\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
  • Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
c\approx 1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Resposta

c\approx 1{,}033\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot s/m}

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