3²) Uma força harmônica de valor máximo igual a 250 N e frequência de 400 rpm age em uma máquina de 100 kg de massa. Projete um sistema de 4 isoladores iguais não amortecidos para a máquina de forma que apenas 15 \% da força que age aplicada à massa seja transmitida à base da máquina. Determine também a deflexão estática das molas e o valor da força transmitida ao piso.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (sem resolver nada ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Força harmônica de amplitude máxima F_0 = 250\\ \mathrm{N}.
    • Frequência de rotação 400\\ \mathrm{rpm}.
    • Massa da máquina m = 100\\ \mathrm{kg}.
    • O sistema terá 4 isoladores idênticos, não amortecidos (molas ideais em paralelo).
    • Deseja-se que apenas 15\% da força aplicada à massa seja transmitida à base (ou seja, transmissibilidade do esforço = 0,15).
  • O que o enunciado pede:
    1. Projetar (calcular) as constantes de rigidez necessárias; isto é, determinar a rigidez equivalente total do conjunto de molas e a rigidez de cada mola (já que são 4 iguais).
    2. Determinar a deflexão estática das molas (deslocamento estático sob o peso mg).
    3. Determinar o valor da força transmitida ao piso (interpreto como a amplitude da força transmitida pela excitação harmônica; também é útil indicar a força estática transmitida = mg).

Passo 2

Modelagem física e fórmula principal (aula curta, sem pulo de etapas).
  • Modelo: massa m apoiada por molas de rigidez total k (soma das 4). Uma força harmônica externa F(t)=F_0\sin(\omega t) age sobre a massa. Não há amortecimento ( c=0). Em regime permanente, a resposta é harmônica com a mesma frequência angular \omega.
  • Equação do movimento (linear, unidimensional):
m\ddot{x} + kx = F_0\sin(\omega t).
Em regime harmônico, procuramos solução x(t)=X\sin(\omega t+\varphi). Para obter a amplitude X usamos a resposta em frequência.
  • Transferência força→deslocamento: a amplitude da resposta em deslocamento é
X=\frac{F_0}{|k-m\omega^2|},
pois não há amortecimento (o termo imaginário é zero).
  • A força transmitida à base é a força nas molas: F_T(t)=k x(t). Logo a amplitude da força transmitida é
F_{T,\text{ampl}} = k X = \frac{k\,F_0}{|k-m\omega^2|}.
  • Definição de transmissibilidade de força (para excitação por força aplicada à massa), que o enunciado exige que seja 0,15:
\text{Transmissibilidade} = \frac{F_{T,\text{ampl}}}{F_0}=\frac{k}{|k-m\omega^2|}=0{,}15.
Esta é a equação que vamos usar para achar k.
  • Observação prática sobre o sinal: a equação com valor absoluto gera duas possibilidades algébricas; veremos qual é fisicamente válida (rigidez positiva).

Passo 3

Converter a frequência e montar a equação para k.
  • Converter 400\\ \mathrm{rpm} para frequência em hertz:
f=\frac{400}{60}=\frac{20}{3}\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência angular:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot\frac{20}{3}=\frac{40\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Escrevendo a condição de transmissibilidade:
\frac{k}{|k-m\omega^2|}=0{,}15=\frac{3}{20}.
Logo
|k-m\omega^2|=\frac{20}{3}\,k.
  • Resolver a equação modular. Duas possibilidades algébricas:
  1. k-m\omega^2=\dfrac{20}{3}k. Isso implica
-m\omega^2=\left(\frac{20}{3}-1\right)k=\frac{17}{3}k,
o que dá k<0 (pois m\omega^2>0); isto é fisicamente impossível (rigidez negativa). Portanto esta solução é rejeitada.
  1. k-m\omega^2=-\dfrac{20}{3}k. Isso implica
k+\frac{20}{3}k=m\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \left(1+\frac{20}{3}\right)k=\frac{23}{3}k=m\omega^2.
Portanto
k=\frac{3}{23}\,m\omega^2.
Esta é a solução fisicamente válida (rigidez positiva).

Passo 4

Calcular numericamente a rigidez total k e a rigidez de cada mola.
  • Primeiro calcule m\omega^2. Usando \omega=\dfrac{40\pi}{3}:
m\omega^2 = m\left(\frac{40\pi}{3}\right)^2 =100\cdot\frac{1600\pi^2}{9} =\frac{160000\pi^2}{9}.
  • Então
k=\frac{3}{23}\,m\omega^2 =\frac{3}{23}\cdot\frac{160000\pi^2}{9} =\frac{480000\pi^2}{207}.
Agora avaliaremos numericamente. Usando \pi^2\approx9{,}8696044:
k\approx\frac{480000\cdot9{,}8696044}{207}\approx22882{,}47\\ \mathrm{N/m}.
  • Como há 4 isoladores idênticos em paralelo, a rigidez total é k=4k_s, logo a rigidez de cada mola é
k_s=\frac{k}{4}\approx\frac{22882{,}47}{4}\approx5720{,}62\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Calcular a deflexão estática das molas (explicação didática).
  • A deflexão estática \delta é o deslocamento estático causado pelo peso da massa mg quando o sistema está em repouso. A relação equilíbrio estático é
k\delta = mg.
Logo
\delta=\frac{mg}{k}.
  • Substituindo numericamente ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
\delta=\frac{100\cdot9{,}81}{22882{,}47}\approx0{,}04288\\ \mathrm{m}=42{,}88\\ \mathrm{mm}.
  • Observação prática: cada mola sofre a mesma deflexão \delta (pois estão em paralelo), e a carga estática em cada mola é mg/4.

Passo 6

Calcular o valor da força transmitida ao piso.
  • A especificação pedia que apenas 15\% da força aplicada fosse transmitida. Assim a amplitude da força transmitida em regime harmônico é simplesmente
F_{T,\text{ampl}}=0{,}15\cdot F_0 = 0{,}15\cdot250=37{,}5\\ \mathrm{N}.
  • Importante distinguir:
    • Força transmitida dinâmica (amplitude relacionada à excitação harmônica): 37{,}5\\ \mathrm{N}.
    • Força transmitida estática (peso da máquina) suportada pelas molas e repassada ao piso em repouso): mg=100\cdot9{,}81=981\\ \mathrm{N}.
    • A força total instantânea transmitida ao piso no regime dinâmico é a soma vetorial instantânea do termo estático mg e do termo dinâmico oscilante F_{T}(t). Se quiser a amplitude total instantânea máxima seria 981+37{,}5=1018{,}5\\ \mathrm{N} (assumindo fase que some), mas normalmente especifica-se a amplitude dinâmica separada, que é 37{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Pequeno comentário de incentivo (estudo é difícil, mas tá indo bem): você já tem a fórmula e os números prontos para a sua prova — memo-prático: calcule k pela relação k/(|k-m\omega^2|)=0{,}15, escolha a solução física, e de lá vem a deflexão estática simples por mg/k. Vai com confiança!

Resposta

k_{\text{total}} \approx 22882{,}47\\ \mathrm{N/m} \Rightarrow k_{\text{por mola}} \approx 5720{,}62\\ \mathrm{N/m}
\delta_{\text{estática}} \approx 0{,}04288\\ \mathrm{m}á (≈ 42{,}88\\ \mathrm{mm})
Força transmitida (amplitude dinâmica) F_{T,\text{ampl}} = 37{,}5\\ \mathrm{N}
Força transmitida estática (peso) mg = 981\\ \mathrm{N}

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