3²) Uma força harmônica de valor máximo igual a 250 N e frequência de 400 rpm age em uma máquina de 100 kg de massa. Projete um sistema de 4 isoladores iguais não amortecidos para a máquina de forma que apenas
da força que age aplicada à massa seja transmitida à base da máquina. Determine também a deflexão estática das molas e o valor da força transmitida ao piso.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (sem resolver nada ainda):
-
Dados fornecidos:
- Força harmônica de amplitude máxima
. - Frequência de rotação
. - Massa da máquina
. - O sistema terá 4 isoladores idênticos, não amortecidos (molas ideais em paralelo).
- Deseja-se que apenas
da força aplicada à massa seja transmitida à base (ou seja, transmissibilidade do esforço = ).
- Força harmônica de amplitude máxima
-
O que o enunciado pede:
- Projetar (calcular) as constantes de rigidez necessárias; isto é, determinar a rigidez equivalente total do conjunto de molas e a rigidez de cada mola (já que são 4 iguais).
- Determinar a deflexão estática das molas (deslocamento estático sob o peso
). - Determinar o valor da força transmitida ao piso (interpreto como a amplitude da força transmitida pela excitação harmônica; também é útil indicar a força estática transmitida =
).
Passo 2
Modelagem física e fórmula principal (aula curta, sem pulo de etapas).
-
Modelo: massa
apoiada por molas de rigidez total (soma das 4). Uma força harmônica externa age sobre a massa. Não há amortecimento ( ). Em regime permanente, a resposta é harmônica com a mesma frequência angular . -
Equação do movimento (linear, unidimensional):
Em regime harmônico, procuramos solução
. Para obter a amplitude
usamos a resposta em frequência.
- Transferência força→deslocamento: a amplitude da resposta em deslocamento é
pois não há amortecimento (o termo imaginário é zero).
- A força transmitida à base é a força nas molas:
. Logo a amplitude da força transmitida é
- Definição de transmissibilidade de força (para excitação por força aplicada à massa), que o enunciado exige que seja
:
Esta é a equação que vamos usar para achar
.
- Observação prática sobre o sinal: a equação com valor absoluto gera duas possibilidades algébricas; veremos qual é fisicamente válida (rigidez positiva).
Passo 3
Converter a frequência e montar a equação para
.
- Converter
para frequência em hertz:
- Frequência angular:
- Escrevendo a condição de transmissibilidade:
Logo
- Resolver a equação modular. Duas possibilidades algébricas:
-
. Isso implica
o que dá
(pois
); isto é fisicamente impossível (rigidez negativa). Portanto esta solução é rejeitada.
-
. Isso implica
Portanto
Esta é a solução fisicamente válida (rigidez positiva).
Passo 4
Calcular numericamente a rigidez total
e a rigidez de cada mola.
- Primeiro calcule
. Usando :
- Então
Agora avaliaremos numericamente. Usando
:
- Como há 4 isoladores idênticos em paralelo, a rigidez total é
, logo a rigidez de cada mola é
Passo 5
Calcular a deflexão estática das molas (explicação didática).
- A deflexão estática
é o deslocamento estático causado pelo peso da massa quando o sistema está em repouso. A relação equilíbrio estático é
Logo
- Substituindo numericamente (
):
- Observação prática: cada mola sofre a mesma deflexão
(pois estão em paralelo), e a carga estática em cada mola é .
Passo 6
Calcular o valor da força transmitida ao piso.
- A especificação pedia que apenas
da força aplicada fosse transmitida. Assim a amplitude da força transmitida em regime harmônico é simplesmente
- Importante distinguir:
- Força transmitida dinâmica (amplitude relacionada à excitação harmônica):
. - Força transmitida estática (peso da máquina) suportada pelas molas e repassada ao piso em repouso):
. - A força total instantânea transmitida ao piso no regime dinâmico é a soma vetorial instantânea do termo estático
e do termo dinâmico oscilante . Se quiser a amplitude total instantânea máxima seria (assumindo fase que some), mas normalmente especifica-se a amplitude dinâmica separada, que é .
- Força transmitida dinâmica (amplitude relacionada à excitação harmônica):
Passo 7
Pequeno comentário de incentivo (estudo é difícil, mas tá indo bem): você já tem a fórmula e os números prontos para a sua prova — memo-prático: calcule
pela relação
, escolha a solução física, e de lá vem a deflexão estática simples por
. Vai com confiança!
Resposta
Força transmitida (amplitude dinâmica)
Força transmitida estática (peso)