Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
Determine:
\vec{V}=(1.1+2.8 x+0.65 y) \vec{\imath}+(0.98-2.1 x-2.8 y) \vec{\jmath}
a) O campo de aceleração;
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário (peguei tudo do enunciado):
\vec{V}=(1{,}1+2{,}8\,x+0{,}65\,y)\,\vec{\imath}+(0{,}98-2{,}1\,x-2{,}8\,y)\,\vec{\jmath}.
Pede-se:
  • (a) o campo de aceleração;
  • (b) as taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento.

Passo 2

Primeiro identifico as componentes escalares do campo de velocidade (para poder derivar):
u(x,y)=1{,}1+2{,}8\,x+0{,}65\,y,\qquad v(x,y)=0{,}98-2{,}1\,x-2{,}8\,y.
Agora calculo as derivadas parciais necessárias (mostrando cada uma):
\frac{\partial u}{\partial x}=u_x=2{,}8,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=u_y=0{,}65,
\frac{\partial v}{\partial x}=v_x=-2{,}1,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=v_y=-2{,}8.

Passo 3

Explico a fórmula de aceleração para fluxo estacionário: como não há dependência temporal, a aceleração material é apenas o termo convectivo
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Em componentes isso dá
a_x=u\,u_x+v\,u_y,\qquad a_y=u\,v_x+v\,v_y.
Aqui u_x,u_y,v_x,v_y são as derivadas que calculei no passo anterior e u,v são as componentes do próprio campo.

Passo 4

Calculo detalhado de a_x:
a_x=2{,}8\,u+0{,}65\,v.
Substituindo u e v:
\begin{aligned} a_x&=2{,}8(1{,}1+2{,}8x+0{,}65y)+0{,}65(0{,}98-2{,}1x-2{,}8y)\\[4pt] &=(2{,}8\cdot1{,}1)+(2{,}8\cdot2{,}8)x+(2{,}8\cdot0{,}65)y +(0{,}65\cdot0{,}98)-(0{,}65\cdot2{,}1)x-(0{,}65\cdot2{,}8)y. \end{aligned}
Faço as multiplicações (passo a passo):
2{,}8\cdot1{,}1=3{,}08,\quad 2{,}8\cdot2{,}8=7{,}84,\quad 2{,}8\cdot0{,}65=1{,}82,
0{,}65\cdot0{,}98=0{,}637,\quad 0{,}65\cdot2{,}1=1{,}365,\quad 0{,}65\cdot2{,}8=1{,}82.
Somando termos semelhantes:
a_x=(3{,}08+0{,}637)+(7{,}84-1{,}365)x+(1{,}82-1{,}82)y =3{,}717+6{,}475\,x+0\cdot y.
Portanto
a_x=3{,}717+6{,}475\,x.]

Passo 5

Calculo detalhado de a_y:
a_y=-2{,}1\,u-2{,}8\,v.
Substituindo u e v:
\begin{aligned} a_y&=-2{,}1(1{,}1+2{,}8x+0{,}65y)-2{,}8(0{,}98-2{,}1x-2{,}8y)\\[4pt] &=(-2{,}1\cdot1{,}1)+(-2{,}1\cdot2{,}8)x+(-2{,}1\cdot0{,}65)y +(-2{,}8\cdot0{,}98)+(2{,}8\cdot2{,}1)x+(2{,}8\cdot2{,}8)y. \end{aligned}
Faço as multiplicações:
-2{,}1\cdot1{,}1=-2{,}31,\quad -2{,}1\cdot2{,}8=-5{,}88,\quad -2{,}1\cdot0{,}65=-1{,}365,
-2{,}8\cdot0{,}98=-2{,}744,\quad 2{,}8\cdot2{,}1=5{,}88,\quad 2{,}8\cdot2{,}8=7{,}84.
Somando termos semelhantes:
a_y=(-2{,}31-2{,}744)+(-5{,}88+5{,}88)x+(-1{,}365+7{,}84)y =-5{,}054+0\cdot x+6{,}475\,y.
Logo
a_y=-5{,}054+6{,}475\,y.]

Passo 6

Resumo do campo de aceleração (resultado da parte a):
\vec{a}=(3{,}717+6{,}475\,x)\,\vec{\imath}+(-5{,}054+6{,}475\,y)\,\vec{\jmath}.

Passo 7

Agora passo às taxas pedidas. Primeiro defino e calculo a taxa de translação (dilatação/expansão volumétrica):
  • A taxa de translação (divergência) é \nabla\cdot\vec{V}=u_x+v_y.
    Usando os valores do passo 2:
\nabla\cdot\vec{V}=2{,}8+(-2{,}8)=0.
Interpretação curta: não há variação volumétrica local (fluxo local incompressível).

Passo 8

Taxa de rotação: explico duas formas úteis
  • A vorticidade (componente z) é \omega_z=\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=v_x-u_y.
  • A taxa angular de rotação (velocidade angular local) é \Omega_z=\dfrac{1}{2}\,\omega_z.
Calculando:
\omega_z=v_x-u_y=-2{,}1-0{,}65=-2{,}75,
\Omega_z=\tfrac{1}{2}\omega_z=-1{,}375.
Comentário: \Omega_z<0 indica rotação no sentido horário se adotarmos a convenção padrão (eixo z positivo saindo da página).

Passo 9

Deformação: uso a decomposição do gradiente de velocidade em parte simétrica (tensor taxa-deformação) e antissimétrica (rotação). O tensor taxa-deformação simétrico D tem componentes
D_{xx}=u_x,\quad D_{yy}=v_y,\quad D_{xy}=D_{yx}=\tfrac{1}{2}(u_y+v_x).
Substituindo:
D_{xx}=2{,}8,\qquad D_{yy}=-2{,}8,
D_{xy}=\tfrac{1}{2}(0{,}65-2{,}1)=\tfrac{1}{2}(-1{,}45)=-0{,}725.
Interpretações:
  • “Deformação linear” normalmente refere-se às componentes normais D_{xx} e D_{yy}: aqui D_{xx}=2{,}8 (alongamento por unidade de tempo na direção x) e D_{yy}=-2{,}8 (encurtamento por unidade de tempo na direção y).
  • “Deformação por cisalhamento” refere-se à componente de cisalhamento D_{xy}: aqui D_{xy}=-0{,}725. O sinal indica a orientação do cisalhamento; a magnitude |D_{xy}|=0{,}725 é a taxa de distorção por cisalhamento.

Passo 10

Coloco junto os resultados numéricos finais (para facilitar conferência): aceleração, divergência (translação), rotação (vorticidade e meia-vorticidade) e componentes do tensor taxa-deformação (linear e cisalhamento). Esses valores condensam tudo o que foi pedido.

Resposta

\displaystyle \vec{a}=(3{,}717+6{,}475\,x)\,\vec{\imath}+(-5{,}054+6{,}475\,y)\,\vec{\jmath}
\displaystyle \text{Taxa de translação (divergência): }\nabla\!\cdot\vec{V}=0çãê
\displaystyle \text{Taxa de rotação: vorticidade } \omega_z=v_x-u_y=-2{,}75,\quad \text{velocidade angular } \Omega_z=\tfrac{1}{2}\omega_z=-1{,}375çã
\displaystyle \text{Deformação linear (componentes normais): }D_{xx}=2{,}8,\quad D_{yy}=-2{,}8çã
\displaystyle \text{Deformação por cisalhamento: }D_{xy}=\tfrac{1}{2}(u_y+v_x)=-0{,}725çã

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