Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
Determine:
a) O campo de aceleração;
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário (peguei tudo do enunciado):
Pede-se:
- (a) o campo de aceleração;
- (b) as taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento.
Passo 2
Primeiro identifico as componentes escalares do campo de velocidade (para poder derivar):
Agora calculo as derivadas parciais necessárias (mostrando cada uma):
Passo 3
Explico a fórmula de aceleração para fluxo estacionário: como não há dependência temporal, a aceleração material é apenas o termo convectivo
Em componentes isso dá
Aqui
são as derivadas que calculei no passo anterior e
são as componentes do próprio campo.
Passo 4
Calculo detalhado de
:
Substituindo
e
:
Faço as multiplicações (passo a passo):
Somando termos semelhantes:
Portanto
Passo 5
Calculo detalhado de
:
Substituindo
e
:
Faço as multiplicações:
Somando termos semelhantes:
Logo
Passo 6
Resumo do campo de aceleração (resultado da parte a):
Passo 7
Agora passo às taxas pedidas. Primeiro defino e calculo a taxa de translação (dilatação/expansão volumétrica):
- A taxa de translação (divergência) é
.
Usando os valores do passo 2:
Interpretação curta: não há variação volumétrica local (fluxo local incompressível).
Passo 8
Taxa de rotação: explico duas formas úteis
- A vorticidade (componente z) é
. - A taxa angular de rotação (velocidade angular local) é
.
Calculando:
Comentário:
indica rotação no sentido horário se adotarmos a convenção padrão (eixo
positivo saindo da página).
Passo 9
Deformação: uso a decomposição do gradiente de velocidade em parte simétrica (tensor taxa-deformação) e antissimétrica (rotação). O tensor taxa-deformação simétrico
tem componentes
Substituindo:
Interpretações:
- “Deformação linear” normalmente refere-se às componentes normais
e : aqui (alongamento por unidade de tempo na direção ) e (encurtamento por unidade de tempo na direção ). - “Deformação por cisalhamento” refere-se à componente de cisalhamento
: aqui . O sinal indica a orientação do cisalhamento; a magnitude é a taxa de distorção por cisalhamento.
Passo 10
Coloco junto os resultados numéricos finais (para facilitar conferência): aceleração, divergência (translação), rotação (vorticidade e meia-vorticidade) e componentes do tensor taxa-deformação (linear e cisalhamento). Esses valores condensam tudo o que foi pedido.