Considere a curva definida, implicitamente, pela equação

x y = 2 x - y + x 2 y

Ache o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto 1,1 .

Passo 1

Acharmos o coeficiente angular é o mesmo que acharmos a derivada da função naquele ponto. Para isso devemos derivar implicitamente a equação da curva.

x y ' = 2 x - y + x 2 y '

Aplicando as regras de derivação

x - 1 / 2 2 ⋅ y 1 / 2 + x 1 / 2 ⋅ y - 1 / 2 ⋅ y ' 2 = 2 1 - y ' + 2 x y + x 2 y '

Passo 2

Poderíamos escrever o valor de y ' separado, mas vamos substituir logo os valores de x e y pelos valores no ponto que isso facilita nossas contas

1 - 1 / 2 2 ⋅ 1 1 / 2 + 1 1 / 2 ⋅ 1 - 1 / 2 ⋅ y ' 2 = 2 1 - y ' + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 2 y '

1 2 + y ' 2 = 2 1 - y ' + 2 + y '

1 + y ' = 4 - 4 y ' + 4 + 2 y '

y ' + 4 y ' - 2 y ' = 4 + 4 - 1

3 y ' = 7

y ' = 7 3

Resposta

y ' = 7 3

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Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita7. x + y = 4
Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub