Encontre y ' para cada uma das curvas abaixo:

( a )   x y - e y = e x + 2 - s e n ( x )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar y ' para a seguinte curva definida implicitamente

x y - e y = e x + 2 - s e n ( x )

temos que obter

y ' = d y ( x ) d x

como a função está definida de uma forma que não podemos isolar y = y ( x ) facilmente, podemos usar a regra da cadeia e outras regras básicas de derivação para obter o resultado desejado! Saca só!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar toda a expressão em relação a x , temos que

d d x [ x y ] - d d x [ e y ] = d d x [ e x ] + d d x [ 2 ] - d d x [ s e n ( x ) ]

de cara já temos algumas derivadas conhecidas, tais como

d d x [ e x ] = e x , d d x [ 2 ] = 0 e d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

de forma que nos resta para resolver

d d x [ x y ] - d d x [ e y ] = e x - c o s ( x )

o lado esquerdo tem dois termos, o primeiro iremos precisar usar a regra do produto, e o segundo a regra da cadeia! Bora lá!

Passo 3

Usando a regra do produto no primeiro termo, temos que

d d x [ x y ] = ( 1 ) y + x y ' = y + x y '

para o segundo termo, a regra da cadeia nos leva à

d d x [ e y ] = e y y '

e, portanto, temos que a expressão se torna

y + x y ' - e y y ' = e x - c o s ( x )

de forma que a derivada de nossa curva é obtida implicitamente como

y ' = e x - c o s ( x ) - y x - e y

Não temos como isolar a função y em termos de x , portanto o resultado é esse mesmo, definido implicitamente! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ' = e x - c o s ( x ) - y x - e y

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub