Considere y   =   f ( x ) definida implicitamente por x 4 -   x y   +   y 4   =   1 . Calcule f ' ( 0 ) , sabendo que f ( x ) > 0 para todo x pertencente aos reais.

Passo 1

Para começar, vamos calcular a derivada f ' ( x ) fazendo derivação implícita da equação do enunciado.

4 x 3 - y + x y ' + 4 y 3 y ' = 0

4 y 3 - x y ' = - 4 x 3 + y

y ' = - 4 x 3 + y 4 y 3 - x = f ' ( x )

Passo 2

Bom...O enunciado nos pede para calcularmos f ' ( 0 ) , ou seja, calcularmos f ' ( x ) para quando x = 0 .

Sabemos que y = f ( x ) e que y satisfaz a equação implícita do enunciado. Desta forma, calculando essa equação quando x = 0 :

0 4 -   0 . f ( 0 )   +   f ( 0 ) 4   =   1

Encontramos, portanto, que f ( 0 ) 4   =   1 ....Mas como sabemos que f ( x ) > 0 para todo x pertencente aos reais, temos que f ( 0 ) = 1 .

Passo 3

Precisamos achar f ' ( 0 ) então vamos substituir x por 0 em f ' ( x ) .

f ' 0 = - 4 . 0 3 + f ( 0 ) 4 f ( 0 ) 3 - 0 = 1 4

Resposta

f ' 0 = 1 4

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Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub