Uma menina muito curiosa resolveu calcular a área superficial e o volume de uma corda bem grossa. Sabendo que a corda tinha comprimento suficiente, e exato, para envolver um bambolê de de raio e que a corda tinha raio exato de . O erro possível de cálculo do raio da corda é de Estime:
- O erro e o erro percentual do cálculo da área superficial da corda
- O erro e o erro percentual do cálculo do volume da corda
OBS: A menina sabe que, independente de calcular como ela fez esse cálculo, a proporção entre o raio do bambolê e da corda é fixa.
Passo 1
Quando a gente vê um OBS numa questão, geralmente é pra gente ficar atento porque tem dica boa aí! Nesse caso, como a menina sabe a proporção, a gente precisa saber também!
Ela não sabe as medidas exatas dos raios, nós sabemos. Se o raio do bambolê é e o raio da corda é , então:
Ta, mas e daí? Bem, a gente vai poder usar essa proporção pra escrever o volume e a área superficial da corda em função de uma variável só. Quer ver? Se a corda é um cilindro, temos que sua altura vale:
Que nada mais é do que o comprimento do bambolê. E a área da base desse cilindro vai ser então:
Show de bola, calculamos então o volume e a área superficial por:
O que fica:
Passo 2
Agora vamos calcular o diferencial das funções de que vimos acima. Saca só:
E passando por outro lado o :
Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com e relacionar com . e vão ser o erro na conta. Assim:
Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:
Esse é o intervalo do erro. Multiplicando isso por , vamos ter:
Assim, aquele cara do meio é :
Pro volume, basta então a gente multiplicar o intervalo de variação do erro do raio por :
Sendo que o valor de ali dentro é o valor inicial, dado no enunciado, de , logo:
Passo 3
Vamos agora achar o erro percentual dessas paradas. Para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa
Então precisamos achar o valor de no valor inicial de :
E o valor de no valor inicial de também:
Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo:
Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:
Agora, pro cálculo do volume, fazemos a mesma coisa, beleza? Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo:
Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre: