Calcule os limites abaixo:

b) lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = 1 - cos ⁡ x x 2 quando x se aproxima de 0 .

Pra calcular esse limite, o que nós vamos fazer é manipular a nossa função para que ela tenha o mesmo formato de um limite que nós conseguimos resolver por substituição direta ou com a cara de um limite fundamental que nós conhecemos o resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar multiplicando o limite lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 por 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x (que não altera a função):

1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ x

Da identidade 1 - cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x , temos:

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ x

Mas lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 = 1 , por definição. E lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x nós podemos resolver por substituição direta:

lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x = 1 1 + cos ⁡ 0 = 1 1 + 1 = 1 2

Logo,

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ x = 1 ∙ 1 2

= 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.