Mostre que a equação x 3 - 4 x + 2 = 0 tem pelo menos três soluções reais.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que aquele polinômio tem pelo menos uma solução dentro do conjunto dos números reais, quer dizer, ele tem pelo menos uma raiz real.

O Teorema de Bolzano nos garante, para uma função contínua, a existência de uma raiz c na função, quando f c = 0 , se f a ∙ f b < 0 no intervalo [ a ,   b ] .

Isso quer dizer que dentro de um intervalo [ a ,   b ] existe um número c que tem um correspondente f ( c ) , e esse f c = 0 nos fornece uma raiz quando o produto de f ( a ) e f ( b ) é negativo (menor do que zero). Calma, vamos dá uma olhadinha na representação do gráfico:

Repare que c cruz o eixo x quando f c = 0 . Observe que c está dentro do intervalo [ a ,   b ] e que f a é positivo e f ( b ) é negativo. Quando fazemos f a ∙ f ( b ) , temos um número negativo também. Poderia ser f ( a ) negativo e f ( b ) positivo, o produto também seria um número negativo. O importante é que quando ocorre essa mudança de sinal, a função passa pelo eixo x e temos uma raiz ali.

Então, o que nós vamos fazer é chutar valores positivos e negativos para o a função x 3 - 4 x + 2 (que por ser um polonômio já é uma função contínua) e verificar onde esse valores mudam de sinal ( f a ∙ f b < 0 ) pra que possamos determinar a existência de uma raiz.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar chutando x = - 3 na função f x = x 3 - 4 x + 2 :

f - 3 = ( - 3 ) 3 - 4 ( - 3 ) + 2

f - 3 = - 27 + 12 + 2 = - 13

Então, f - 3 < 0 . Agora vamos chutar x = - 2 na função:

f - 2 = ( - 2 ) 3 - 4 ( - 2 ) + 2

f - 2 = - 8 + 8 + 2 = 2

Logo, f - 3 ∙ f 2 = - 13 ∙ 2 = - 26 < 0 e temos uma raiz no intervalo [ - 3 ,   - 2 ] .

Passo 3

Agora vamos fazer x = - 1 na função:

f - 1 = ( - 1 ) 3 - 4 ( - 1 ) + 2

f - 1 = - 1 + 4 + 2 = 5

Então, f - 1 > 0 . Agora vamos chutar x = 0 na função:

f 0 = ( 0 ) 3 - 4 ( 0 ) + 2

f 0 = 2

Então, f 0 > 0 e temos:

f - 1 ∙ f 0 = 5 ∙ ( 2 )

f - 1 ∙ f 0 = 10

Como f - 1 ∙ f 0 > 0 não existe raiz nesse intervalo. Vamos continuar procurando.

Vamos fazer agora x = 1 :

f 1 = ( 1 ) 3 - 4 ( 1 ) + 2

f 1 = 1 - 4 + 2 = - 1

Fazendo f 0 ∙ f ( 1 ) , temos:

f 0 ∙ f 1 = 2 ∙ ( - 1 )

f 0 ∙ f 1 = - 2

Logo, f 0 ∙ f 1 < 0 e temos uma raiz no intervalo [ 0 ,   1 ] .

Passo 4

Vamos fazer agora x = 2 :

f 2 = ( 2 ) 3 - 4 ( 2 ) + 2

f 2 = 8 - 8 + 2 = 2

Fazendo f 1 ∙ f ( 2 ) , temos:

f 1 ∙ f 2 = - 1 ∙ 2

f 1 ∙ f 2 = - 2

Logo, f 1 ∙ f 2 < 0 e temos uma raiz no intervalo [ 1 ,   2 ] .

Prontinho, galera! Até a próxima! ���

Resposta

E x i s t e m   r a í z e s   r e a i s   e m - 3 ,   - 2 ,   0 ,   1   e   [ 1 ,   2 ] ,  

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.