3. Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de L ’ H ô s p i t a l ):

b) lim u → 0 ⁡ s e n 3 u 6 u

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, estamos interessados em calcular alguns limites, porém a única regra é que não podemos usar a regra de L ' H o p i t a l .

Entendeu?

A regra de L ' H o p i t a l nos ajuda muito quando temos uma indeterminação como resultado de um limite pelo método da substituição.

Porém existem alguns outros métodos que podemos aplicar a algumas analises matemáticas, com isso, vamos ter que analisar cada caso separadamente para ver qual é a melhor maneira de resolver o problema.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O limite que temos que calcular é

lim u → 0 ⁡ s e n 3 u 6 u

Para facilitar nossa análise, vamos chamar 3 u de x , e, portanto, 6 u = 2 x e x → 0

lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x

Tirando a constante 1 / 2 para fora do limite, vamos ter

1 2 · lim x → 0 ⁡ s e n x x

Nesse caso podemos usar o teorema do confronto, mas antes vamos ter que fazer algumas análises trigonométricas.

Vamos comparar algumas características desse círculo trigonométrico. Nele podemos ver que a área do triângulo roxo formado pela altura s e n x e pelo raio é menor que a área do setor circular com raio 1 e que por sua vez é menor que a área em vermelho da t g x , ou seja

Se a área de um triângulo é b h 2 e a área de um setor circular é θ 2 π · π r 2 , então

1 2 s e n x < x 2 π π < t g x 2

Multiplicando por 2 e simplificando...

s e n x < x < t g x

Tudo certo até aqui? 👀

Passo 3

Agora, nessa inequação, vamos dividir tudo por s e n x

s e n x s e n x < x s e n x < t g x s e n x

Como t g x = s e n x cos ⁡ x , então

s e n x s e n x < x s e n x < s e n x cos ⁡ x s e n x

1 < x s e n x < 1 cos ⁡ x

Estamos interessados no inverso de x s e n x então vamos inverter todos os lados. Lembrando que ao fazer isso, temos que inverter os sinais da inequação

1 > s e n x x > cos ⁡ x

E agora aplicando o limite em tudo, temos

lim x → 0 ⁡ 1 > lim x → 0 ⁡ s e n x x > lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

Se lim x → 0 ⁡ 1 = 1 e lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x = 1 pelo método de substituição, então

1 > lim x → 0 ⁡ s e n x x > 1

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Substituindo no nosso problema, temos

lim u → 0 ⁡ s e n 3 u 6 u = 1 2 · lim x → 0 ⁡ s e n x x

lim u → 0 ⁡ s e n 3 u 6 u = 1 2 · 1

lim u → 0 ⁡ s e n 3 u 6 u = 1 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim u → 0 ⁡ s e n 3 u 6 u = 1 2

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.