Exercício 15. Enuncie o critério da integral. Use o critério da integral para verificar a convergência da série

∑ n = 4 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 4 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n

E nosso objetivo é determinar se a série converge a partir do teste da integral.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O teste da integral consiste em calcular a integral imprópria da função f x obtida a partir de a n .

lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x

Se a integral convergir, podemos afirmar que a série também converge...

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n ...

Fazendo n → x temos

a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n → f x = 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x

Como nosso somatório começa em n = 4 , então a = 4 na integral

lim b → ∞ ⁡ ∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x

Vamos começar calculando a integral de f x

Aplicando o método de substituição, fazemos u = ln ⁡ x e consequentemente d u = 1 x d x

∫ 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x d x → ∫ 1 x u ln ⁡ u x d u

∫ 1 u ln ⁡ u d u

Novamente aplicando o método da substituição fazendo v = ln ⁡ u e d v = 1 u d u

∫ 1 u ln ⁡ u d u → ∫ 1 u v u d v

∫ 1 v d v

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ 1 v d v = ln ⁡ v

Mas como v = ln ⁡ u , temos

∫ 1 u ln ⁡ u d u = ln ⁡ ln ⁡ u

E por fim, como u = ln ⁡ x ...

∫ 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ 4

E finalmente aplicando o limite para b → ��

lim b → ∞ ⁡ ∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ ∞ - ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ 4

Como ln ⁡ ∞ tende a , podemos observar que o termo ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ ∞ tende a , ou seja

lim b → ∞ ⁡ ∫ 4 b 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ∞

Logo, a série ∑ n = 4 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ ln ⁡ n diverge!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Diverge

Exercícios de Livros Relacionados

9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.20. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 6 n + 13
Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 : ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série. ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2
Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 : �� x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 �� Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.b) ∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² ²
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.18. ∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n
Quantos termos da série ∑ n = 2 ∞ 1 / n ln ⁡ n 2 você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01?