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Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Exercício 7123456891011121314

Enunciado

Integral de convolução

Achar a função f : 0 , + ∞ → R com f 0 = 1 que satisfaz a seguinte equação:

f ' t - ∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ = 1           ∀ t ≥ 0

Passo 1

Ok, essa equação parece muito estranha quando olhamos de primeira, né? Mas dá uma olhada nessa integral, repare que:

∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ = cos ⁡ ( t ) * f ( t )

Reconheceu o integral de convolução? Certo, agora como fazemos ela desaparecer?

Vamos chamar esse produto de y :

y = cos ⁡ ( t ) * f ( t )

Se y é igual ao produto de convolução, então, sabemos que:

L y s = L cos ⁡ t s . L f t ( s )

L y s = s s 2 + 1 . L f t ( s )

O processo inverso ao que fizemos nos outros exercícios.

Bom, disso, concluímos que:

L ∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ s = s s 2 + 1 . L f t ( s )

Assim as coisas já ficam um pouco melhores, não é? Conseguimos desaparecer com a integral aplicando Laplace nela.

Passo 2

Vamos, então, aplicar Laplace na equação toda, para manter a igualdade, ok?

L f ' t - ∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ ( s ) = L [ 1 ] ( s )          

L f ' t s - s s 2 + 1 . L f t s = 1 s

Passo 3

Agora nós vamos tentar isolar L f t ( s ) , para conseguirmos, a partir disso, f ( t ) , que é o que o problema pede.

Vamos escrever L f ' t ( s ) em função de F f t ( s ) :

s L f t s - f ( 0 ) - s s 2 + 1 . L f t s = 1 s

Com o problema diz que f 0 = 1

s - s s 2 + 1 L f t s = 1 s + 1

s 3 s 2 + 1 L f t s = s + 1 s

L f t s = s 3 + s 2 + s + 1 s 4

Passo 4

Agora precisamos reescrever essa expressão em frações parciais, para tentar reconhecer f ( t ) .

Como s é uma raiz múltipla, teremos o seguinte:

s 3 + s 2 + s + 1 s 4 = a s 4 + b s 3 + c s 2 + d s

Repare que os numeradores tem um grau a menos que a raiz dos denominadores, no caso, s para todos eles. Como s tem grau 1 , os numeradores são todos constantes (grau 0 ).

Beleza, agora vamos juntar essas frações para descobrir o valor de a , b , c e d .

s 3 + s 2 + s + 1 s 4 = a + b s + c s 2 + d s 3 s 4

Podemos dizer então

d = 1 c = 1 b = 1 a = 1

Logo, temos o seguinte:

L f t s = s 3 + s 2 + s + 1 s 4 = 1 s 4 + 1 s 3 + 1 s 2 + 1 s

Passo 5

Agora vamos reconhecer as funções que tem essas frações que encontramos como transformada. Nós sabemos o seguinte:

L t n s = n ! s n + 1

Logo, podemos escrever

L f t s = 1 s 4 ⏟ L t 3 / 6 + 1 s 3 ⏟ L t 2 / 2 + 1 s 2 ⏟ L [ t ] + 1 s ⏟ L [ 1 ]

L f t s = L t 3 6 + t 2 2 + t + 1 s

O que nos dá

f t = t 3 6 + t 2 2 + t + 1

Resposta

f t = t 3 6 + t 2 2 + t + 1

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