Determine qual superfície é parametrizada por \varphi(u, v)=(u, v, u+v),(u, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Delimite uma porção e ache sua área.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização \varphi(u,v)=(u,v,u+v) com (u,v)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} e pede duas coisas:
Determinar qual superfície essa parametrização descreve (ou seja: escrever a equação da superfície em coordenadas x,y,z).
Delimitar uma porção da superfície e calcular a área dessa porção.
Informações relevantes fornecidas:
As componentes da parametrização são \phi_1(u,v)=u, \phi_2(u,v)=v e \phi_3(u,v)=u+v.
O domínio paramétrico é todo \mathbb{R}^2.
Passo 2
Converter a parametrização para coordenadas usuais. Se identificarmos x=u e y=v, então o ponto na superfície tem coordenadas
(x,y,z)=(u,v,u+v),
portanto a coordenada z satisfaz
z = u+v.
Substituindo u=x e v=y obtemos a equação da superfície em termos de x,y,z:
z = x + y.
Esta é a equação explícita da superfície — uma reta? calma: é um plano (é uma superfície plana definida por uma relação linear entre x,y,z). Podemos escrever em forma padrão:
x + y - z = 0,
cujo vetor normal (obtido pelo gradiente do lado esquerdo) é (1,1,-1).
Passo 3
Vou delimitar uma porção simples e conveniente da superfície: a imagem do retângulo paramétrico
R = \{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 1\}.
Ou seja, a porção considerada é a parte do plano z=x+y que corresponde aos pontos (x,y) no quadrado [0,1]\times[0,1] no plano xy. Escolhi esse retângulo porque torna os cálculos diretos e ele é um exemplo típico que aparece em provas.
Passo 4
Para calcular a área de uma porção parametrizada por \varphi(u,v) usa-se a fórmula da área como integral dupla da norma do produto vetorial das derivadas parciais:
Observação didática: aqui a norma é constante (independe de u,v), então a área da porção será simplesmente \sqrt{3} multiplicado pela área do domínio paramétrico R no plano uv.
Como verificação alternativa (útil para prova): para uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) com f(x,y)=x+y, a fórmula da área projetada no plano xy é