Determine qual superfície é parametrizada por \varphi(u, v)=(u, v, u+v),(u, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Delimite uma porção e ache sua área.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização \varphi(u,v)=(u,v,u+v) com (u,v)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} e pede duas coisas:
  • Determinar qual superfície essa parametrização descreve (ou seja: escrever a equação da superfície em coordenadas x,y,z).
  • Delimitar uma porção da superfície e calcular a área dessa porção.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes da parametrização são \phi_1(u,v)=u, \phi_2(u,v)=v e \phi_3(u,v)=u+v.
  • O domínio paramétrico é todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Converter a parametrização para coordenadas usuais. Se identificarmos x=u e y=v, então o ponto na superfície tem coordenadas
(x,y,z)=(u,v,u+v),
portanto a coordenada z satisfaz
z = u+v.
Substituindo u=x e v=y obtemos a equação da superfície em termos de x,y,z:
z = x + y.
Esta é a equação explícita da superfície — uma reta? calma: é um plano (é uma superfície plana definida por uma relação linear entre x,y,z). Podemos escrever em forma padrão:
x + y - z = 0,
cujo vetor normal (obtido pelo gradiente do lado esquerdo) é (1,1,-1).

Passo 3

Vou delimitar uma porção simples e conveniente da superfície: a imagem do retângulo paramétrico
R = \{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le 1\}.
Ou seja, a porção considerada é a parte do plano z=x+y que corresponde aos pontos (x,y) no quadrado [0,1]\times[0,1] no plano xy. Escolhi esse retângulo porque torna os cálculos diretos e ele é um exemplo típico que aparece em provas.

Passo 4

Para calcular a área de uma porção parametrizada por \varphi(u,v) usa-se a fórmula da área como integral dupla da norma do produto vetorial das derivadas parciais:
\text{Área}=\iint_{R}\big\|\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)\big\|\;du\,dv.Á
Primeiro calculemos as derivadas parciais:
\phi_u(u,v)=\frac{\partial}{\partial u}(u,v,u+v)=(1,0,1),
\phi_v(u,v)=\frac{\partial}{\partial v}(u,v,u+v)=(0,1,1).

Passo 5

Calcule o produto vetorial \phi_u\times\phi_v. Usando a fórmula do determinante:
\phi_u\times\phi_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \big(0\cdot1-1\cdot1,\;-(1\cdot1-0\cdot1),\;1\cdot1-0\cdot0\big) =(-1,-1,1).
Agora a norma:
\big\|\phi_u\times\phi_v\big\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}.
Observação didática: aqui a norma é constante (independe de u,v), então a área da porção será simplesmente \sqrt{3} multiplicado pela área do domínio paramétrico R no plano uv.

Passo 6

Calcule a integral sobre R=[0,1]\times[0,1]:
\text{Área}=\iint_{R}\sqrt{3}\;du\,dv=\sqrt{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}du\,dv=\sqrt{3}\cdot(1-0)\cdot(1-0)=\sqrt{3}.Á
Como verificação alternativa (útil para prova): para uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) com f(x,y)=x+y, a fórmula da área projetada no plano xy é
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dx\,dy,Á
aqui f_x=1 e f_y=1, então \sqrt{1+1^2+1^2}=\sqrt{3} e obtém-se o mesmo resultado ao integrar sobre D=[0,1]\times[0,1].

Resposta

Superfície: z = x + y (plano).
Porção escolhida: imagem de [0,1]\times[0,1] pelo mapa \varphi. Área da porção: \sqrt{3}.

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