Calcule a integral indefinida.
\int \frac{x^{2}}{x+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x+5}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{2}}{x+5}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (procuramos uma primitiva, mais constante de integração).

Passo 2

Escolha do método: como o numerador tem grau maior ou igual ao denominador (grau 2 em cima e grau 1 em baixo), a técnica apropriada é dividir polinômios (ou seja, fazer a divisão inteira) para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria. Isso simplifica muito a integração.

Passo 3

Fazer a divisão de polinômios passo a passo. Dividindo \,x^{2} por (x+5):
  • Primeiro termo do quociente: dividir x^{2} por x x. Multiplicando: x\cdot(x+5)=x^{2}+5x.
  • Subtrair: x^{2} - (x^{2}+5x) = -5x.
  • Próximo termo do quociente: dividir -5x por x -5. Multiplicando: -5\cdot(x+5)=-5x-25.
  • Subtrair: -5x - (-5x-25)=25. Portanto o resto é 25.
Logo a divisão dá quociente x-5 e resto 25, isto é,
x^{2}=(x+5)(x-5)+25.
Dividindo ambos os lados por (x+5) obtemos a decomposição útil
\frac{x^{2}}{x+5}=x-5+\frac{25}{x+5}.

Passo 4

Usar linearidade da integral: integrar termo a termo
\int \frac{x^{2}}{x+5}\,dx = \int\biggl(x-5+\frac{25}{x+5}\biggr)\,dx = \int x\,dx \;-\; \int 5\,dx \;+\; \int \frac{25}{x+5}\,dx.
Lembrete de regras usadas:
  • A integral da soma é a soma das integrais.
  • Constantes podem sair da integral: \int a f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.

Passo 5

Calcular cada integral simples:
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, porque a primitiva de x é x^{2}/2.
  • \displaystyle \int 5\,dx = 5x.
  • Para a última, usar que \dfrac{d}{dx}\ln\lvert x+5\rvert=\dfrac{1}{x+5}. Assim
\int \frac{25}{x+5}\,dx = 25\int \frac{1}{x+5}\,dx = 25\ln\!\bigl\lvert x+5\bigr\rvert.
(Observação: se fosse \int \frac{1}{ax+b}\,dx então a primitiva seria \frac{1}{a}\ln|ax+b|. Aqui a=1.)

Passo 6

Juntando tudo e incluindo a constante de integração C,
\int \frac{x^{2}}{x+5}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 5x + 25\ln\!\bigl\lvert x+5\bigr\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-5x+25\ln\!\bigl\lvert x+5\bigr\rvert + C

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