Calcule a integral indefinida. \int \frac{x^{2}}{x+5} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{x+5}\,dx.
Informações dadas:
O integrando é a função racional \dfrac{x^{2}}{x+5}.
Trata-se de uma integral indefinida (procuramos uma primitiva, mais constante de integração).
Passo 2
Escolha do método: como o numerador tem grau maior ou igual ao denominador (grau 2 em cima e grau 1 em baixo), a técnica apropriada é dividir polinômios (ou seja, fazer a divisão inteira) para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria. Isso simplifica muito a integração.
Passo 3
Fazer a divisão de polinômios passo a passo. Dividindo \,x^{2} por (x+5):
Primeiro termo do quociente: dividir x^{2} por x dá x. Multiplicando: x\cdot(x+5)=x^{2}+5x.
Subtrair: x^{2} - (x^{2}+5x) = -5x.
Próximo termo do quociente: dividir -5x por x dá -5. Multiplicando: -5\cdot(x+5)=-5x-25.
Subtrair: -5x - (-5x-25)=25. Portanto o resto é 25.
Logo a divisão dá quociente x-5 e resto 25, isto é,
x^{2}=(x+5)(x-5)+25.
Dividindo ambos os lados por (x+5) obtemos a decomposição útil
\frac{x^{2}}{x+5}=x-5+\frac{25}{x+5}.
Passo 4
Usar linearidade da integral: integrar termo a termo