Calcule as integrais usando a substituição indicada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição indicada
. As informações que temos:
- A integral a ser calculada é
. - A substituição dada é
. - É esperado obter a antiderivada geral (com constante de integração).
Passo 2
Transformar a substituição em diferenciais para poder trocar a variável da integral. Derivando
em relação a
obtemos
Em forma de diferenciais isso é
Passo 3
Isolar
para substituir na integral:
Explicação rápida: dividiu-se ambos os lados de
por
para obter
em função de
.
Passo 4
Substituir
e
na integral original. Como
temos
; e
. Logo
Fatorando a constante
para fora da integral:
Observação didática: pode-se sempre tirar constantes multiplicativas fora da integral, porque a integral é linear.
Passo 5
Calcular a integral em
. Sabe-se que a derivada de
é
, então uma primitiva de
é
. Assim
onde
é a constante de integração (sempre presente em integrais indefinidas).
Passo 6
Reescrevendo com o fator que tiramos:
onde
é outra constante arbitrária (podemos simplesmente escrever
no final).
Passo 7
Voltar à variável original substituindo
:
Comentário extra (útil na prova): uma maneira rápida de ver o resultado é lembrar que
, logo a antiderivada de
é
(até constante).