Calcule as integrais usando a substituição indicada:
\int \cos (3 x) d x \quad \operatorname{com} u=3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(3x)\,dx
usando a substituição indicada u=3x. As informações que temos:
  • A integral a ser calculada é \int \cos(3x)\,dx.
  • A substituição dada é u=3x.
  • É esperado obter a antiderivada geral (com constante de integração).

Passo 2

Transformar a substituição em diferenciais para poder trocar a variável da integral. Derivando u=3x em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=3.
Em forma de diferenciais isso é
du=3\,dx.

Passo 3

Isolar dx para substituir na integral:
dx=\frac{du}{3}.
Explicação rápida: dividiu-se ambos os lados de du=3\,dx por 3 para obter dx em função de du.

Passo 4

Substituir u e dx na integral original. Como u=3x temos \cos(3x)=\cos(u); e dx=\dfrac{du}{3}. Logo
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{3}.
Fatorando a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral:
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Observação didática: pode-se sempre tirar constantes multiplicativas fora da integral, porque a integral é linear.

Passo 5

Calcular a integral em u. Sabe-se que a derivada de \sin(u) é \cos(u), então uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Assim
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração (sempre presente em integrais indefinidas).

Passo 6

Reescrevendo com o fator que tiramos:
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\bigl(\sin(u)+C\bigr) = \frac{1}{3}\sin(u) + C',
onde C'=\dfrac{1}{3}C é outra constante arbitrária (podemos simplesmente escrever +C no final).

Passo 7

Voltar à variável original substituindo u=3x:
\frac{1}{3}\sin(u)+C = \frac{1}{3}\sin(3x)+C.
Comentário extra (útil na prova): uma maneira rápida de ver o resultado é lembrar que \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x), logo a antiderivada de \cos(3x) é \dfrac{1}{3}\sin(3x) (até constante).

Resposta

\frac{1}{3}\sin(3x)+C

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