Calcule a integral indefinida.
\int \cos \left(\frac{\pi}{x}\right) d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\,dx.
Aqui a variável de integração é x. O integrando é uma composição: primeiro x\mapsto \pi/x e depois \cos aplicado a isso. Precisamos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja \cos(\pi/x)). Nada mais é dado.

Passo 2

Ideia útil: fazer a substituição que simplifica a parte interna da função trigonométrica. Tome
u=\frac{\pi}{x}.
Vamos transformar toda a integral para a variável u. Primeiro escrevemos x em função de u:
x=\frac{\pi}{u}.
Agora calculamos dx em termos de du. Derivando x=\pi/u em relação a u:
dx = -\frac{\pi}{u^{2}}\,du.
Essa expressão dá o elemento diferencial dx que usaremos na mudança de variável.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral original:
\int \cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\,dx = \int \cos(u)\left(-\frac{\pi}{u^{2}}\right)\,du = -\pi \int \frac{\cos(u)}{u^{2}}\,du.
Agora o problema virou calcular \int \dfrac{\cos(u)}{u^{2}}\,du em u.

Passo 4

Para \int \dfrac{\cos(u)}{u^{2}}\,du usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int f(u)\,g'(u)\,du = f(u)g(u) - \int f'(u)g(u)\,du.
Escolhemos
f(u)=\cos(u),\qquad g'(u)=u^{-2}.
Então
f'(u)=-\sin(u),\qquad g(u)=\int u^{-2}\,du = -u^{-1}.
Aplicando a fórmula:
\int \frac{\cos(u)}{u^{2}}\,du = \cos(u)\cdot\big(-u^{-1}\big) - \int \big(-\sin(u)\big)\cdot\big(-u^{-1}\big)\,du.
Cuidando dos sinais:
\int \frac{\cos(u)}{u^{2}}\,du = -\frac{\cos(u)}{u} - \int \frac{\sin(u)}{u}\,du.

Passo 5

Voltando à expressão com o fator -\pi (veja o passo 3):
-\pi \int \frac{\cos(u)}{u^{2}}\,du = -\pi\left(-\frac{\cos(u)}{u} - \int \frac{\sin(u)}{u}\,du\right).
Distribuindo o -\pi:
-\pi \int \frac{\cos(u)}{u^{2}}\,du = \pi\frac{\cos(u)}{u} + \pi\int \frac{\sin(u)}{u}\,du.
Agora substituímos u=\dfrac{\pi}{x} de volta. Observe que
\pi\frac{\cos(u)}{u} = \pi\frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)}{\tfrac{\pi}{x}} = x\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
Portanto a primitiva fica
x\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right) + \pi\int \frac{\sin(u)}{u}\,du + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

A integral \int \dfrac{\sin(u)}{u}\,du não tem primitiva elementar expressável com funções elementares básicas; ela define uma função especial chamada integral seno. A definição (uma forma conveniente) é
\mathrm{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Assim qualquer primitiva de \dfrac{\sin(u)}{u} pode ser escrita como \mathrm{Si}(u)+ constante. Substituindo isso na expressão anterior e lembrando de u=\dfrac{\pi}{x}, obtemos a primitiva final:
x\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)+\pi\,\mathrm{Si}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivando
F(x)=x\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)+\pi\,\mathrm{Si}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)
pela regra da cadeia e usando \dfrac{d}{du}\mathrm{Si}(u)=\dfrac{\sin u}{u}, os termos extras se cancelam e sobra \cos\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right). Portanto F'(x)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{x}\right), confirmando que F é efetivamente uma primitiva.

Resposta

x\cos\!\left(\frac{\pi}{x}\right)+\pi\,\mathrm{Si}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)+C

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