Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Aqui a variável de integração é
. O integrando é uma composição: primeiro
e depois
aplicado a isso. Precisamos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja
). Nada mais é dado.
Passo 2
Ideia útil: fazer a substituição que simplifica a parte interna da função trigonométrica. Tome
Vamos transformar toda a integral para a variável
. Primeiro escrevemos
em função de
:
Agora calculamos
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Essa expressão dá o elemento diferencial
que usaremos na mudança de variável.
Passo 3
Substituindo
e
na integral original:
Agora o problema virou calcular
em
.
Passo 4
Para
usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Cuidando dos sinais:
Passo 5
Voltando à expressão com o fator
(veja o passo 3):
Distribuindo o
:
Agora substituímos
de volta. Observe que
Portanto a primitiva fica
onde
é constante de integração.
Passo 6
A integral
não tem primitiva elementar expressável com funções elementares básicas; ela define uma função especial chamada integral seno. A definição (uma forma conveniente) é
Assim qualquer primitiva de
pode ser escrita como
constante. Substituindo isso na expressão anterior e lembrando de
, obtemos a primitiva final:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivando
pela regra da cadeia e usando
, os termos extras se cancelam e sobra
. Portanto
, confirmando que
é efetivamente uma primitiva.