Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado dá as curvas
, e
, e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por essas curvas em torno do eixo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
, é a semicircunferência superior de raio centrada na origem (porque ). - A reta
, é o eixo . - A região entre essas duas curvas corresponde ao semi-círculo superior com
variando de até . - A rotação é feita em torno do eixo
.
O que é pedido: calcular o volume do sólido obtido por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método: como a região é dada por
como função de
e a rotação é em torno do eixo
, o método mais direto é o método dos discos (ou dos “washers”, aqui sem furo porque a região toca o eixo
). Esse método consiste em aproximar o sólido por fatias finas perpendiculares ao eixo
que, ao girarem, formam discos de raio igual ao valor de
naquele
.
Breve justificativa por que não usar cascas cilíndricas: o método das cascas exige escrever
em função de
e integrar em
; é possível, mas mais trabalhoso aqui. O método dos discos é mais direto.
Passo 3
Explicação didática do método dos discos (fórmula e significado das variáveis):
- Considere uma fatia vertical em
com espessura infinitesimal . - Ao girar essa fatia em torno do eixo
, obtém-se um disco de raio e espessura . - A área da face do disco é
. Assim o volume da fatia é aproximadamente . - Integrando de
até obtemos o volume total:
Aqui
é a distância do eixo de rotação até a curva superior (a função
),
é a espessura da fatia, e
é a área do disco.
Passo 4
Aplicando ao problema:
- A Região vai de
até (porque a semicircunferência de raio cruza o eixo em e ). - O raio do disco em um ponto
é . - Portanto o volume é
Simplificando o integrando:
logo
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo:
- Calcule a primitiva de
:
onde
é a constante de integração (não usada no cálculo definido).
- Avaliando de
a :
- Primeiro em
:
- Em
:
- Subtraindo:
- Multiplicando por
:
Observação (cheque geométrico rápido): a rotação do semicírculo de raio
em torno do eixo
gera uma esfera de raio
. O volume de uma esfera é
. Para
:
o que confirma o resultado obtido pelo método dos discos.