Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo indicado:
y=\sqrt{25-x^{2}}, \quad y=0; em torno do eixo
x

Passo 1

O enunciado dá as curvas \,y=\sqrt{25-x^{2}}, e \,y=0, e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por essas curvas em torno do eixo x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva \,y=\sqrt{25-x^{2}}, é a semicircunferência superior de raio 5 centrada na origem (porque x^{2}+y^{2}=25).
  • A reta \,y=0, é o eixo x.
  • A região entre essas duas curvas corresponde ao semi-círculo superior com x variando de -5 até 5.
  • A rotação é feita em torno do eixo x.
O que é pedido: calcular o volume do sólido obtido por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método: como a região é dada por y como função de x e a rotação é em torno do eixo x, o método mais direto é o método dos discos (ou dos “washers”, aqui sem furo porque a região toca o eixo x). Esse método consiste em aproximar o sólido por fatias finas perpendiculares ao eixo x que, ao girarem, formam discos de raio igual ao valor de y naquele x.
Breve justificativa por que não usar cascas cilíndricas: o método das cascas exige escrever x em função de y e integrar em y; é possível, mas mais trabalhoso aqui. O método dos discos é mais direto.

Passo 3

Explicação didática do método dos discos (fórmula e significado das variáveis):
  • Considere uma fatia vertical em x com espessura infinitesimal dx.
  • Ao girar essa fatia em torno do eixo x, obtém-se um disco de raio R(x) e espessura dx.
  • A área da face do disco é \pi [R(x)]^{2}. Assim o volume da fatia é aproximadamente dV=\pi [R(x)]^{2}\,dx.
  • Integrando de x=a até x=b obtemos o volume total:
V=\int_{a}^{b}\pi [R(x)]^{2}\,dx.
Aqui R(x) é a distância do eixo de rotação até a curva superior (a função y), dx é a espessura da fatia, e \pi R^{2} é a área do disco.

Passo 4

Aplicando ao problema:
  • A Região vai de x=-5 até x=5 (porque a semicircunferência de raio 5 cruza o eixo x em -5 e 5).
  • O raio do disco em um ponto x é R(x)=y=\sqrt{25-x^{2}}.
  • Portanto o volume é
V=\int_{-5}^{5}\pi\bigl(\sqrt{25-x^{2}}\bigr)^{2}\,dx.
Simplificando o integrando:
\bigl(\sqrt{25-x^{2}}\bigr)^{2}=25-x^{2},
logo
V=\pi\int_{-5}^{5}(25-x^{2})\,dx.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo:
  • Calcule a primitiva de 25-x^{2}:
\int(25-x^{2})\,dx=25x-\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração (não usada no cálculo definido).
  • Avaliando de -5 a 5:
V=\pi\left[25x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-5}^{5}.
  • Primeiro em x=5:
25\cdot5-\frac{5^{3}}{3}=125-\frac{125}{3}=\frac{375-125}{3}=\frac{250}{3}.
  • Em x=-5:
25\cdot(-5)-\frac{(-5)^{3}}{3}=-125-\frac{-125}{3}=-125+\frac{125}{3}=\frac{-375+125}{3}=-\frac{250}{3}.
  • Subtraindo:
\frac{250}{3}-\left(-\frac{250}{3}\right)=\frac{500}{3}.
  • Multiplicando por \pi:
V=\pi\cdot\frac{500}{3}=\frac{500}{3}\pi.
Observação (cheque geométrico rápido): a rotação do semicírculo de raio 5 em torno do eixo x gera uma esfera de raio 5. O volume de uma esfera é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Para r=5:
\frac{4}{3}\pi\cdot5^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot125=\frac{500}{3}\pi,
o que confirma o resultado obtido pelo método dos discos.

Resposta

\dfrac{500}{3}\pi

Exercícios relacionados