Calcule o volume da porção do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados,
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Região está no primeiro octante, ou seja:
-
, , .
-
- A região é limitada pelos planos coordenados
, , . - A região é limitada também pelo plano
. - A região é limitada pelo plano
. - Pergunta: calcular o volume da porção do sólido determinada por essas condições.
Passo 2
Vamos entender a forma geométrica da região (visualização básica).
- A equação
é um plano que, na interseção com o plano constante (qualquer valor de ), intercepta os eixos e nos pontos: - intercepto em
: tomar dá ; - intercepto em
: tomar dá .
- intercepto em
- Assim, projetando a região sobre o plano
(i.e. fixando ), a área limitada por , e é um triângulo cujos vértices são , e . - Como o plano
não envolve , essa projeção em é a mesma para todo . O limite em é . - Conclusão geométrica útil: a região é um prisma reto cujo “base” é o triângulo no plano
descrito acima e cuja “altura” na direção vale .
Passo 3
Escolher como escrever o volume por integral e explicar o significado.
- Volume de uma região
pode ser escrito como a integral tripla
onde
representa um elemento de volume infinitesimal (por exemplo
se essa for a ordem escolhida).
- Como o limite em
é independente de e , é conveniente integrar primeiro sobre e (a área da base triangular) e depois sobre . - Vamos escolher a ordem de integração
. Assim:
onde
é o triângulo no plano
definido por
,
e
.
Passo 4
Determinar limites explícitos para
e
e montar a integral iterada.
- Da inequação
isolamos como função de :
- Para cobrir todo o triângulo
podemos tomar variando de até (intercepto em ) e, para cada , variando de até . - Portanto a integral tripla fica
Passo 5
Calcular as integrais internas passo a passo (integração sobre
e
).
- Primeiro integrar em
:
- Agora integrar em
:
- Avaliando em
:
- Assim a área da base triangular
(a integral dupla sobre ) é .
Passo 6
Integrar sobre
e expressar o volume final (mantendo a resposta final na seção própria).
- A integral sobre
é simplesmente multiplicar a área da base pela altura :
- (Comentário de verificação rápida e intuitiva: a área do triângulo com base
e altura é , e o sólido é um prisma reto de altura , então área da base altura, consistente com a integral acima.)
Resposta
30