Calcule o volume da porção do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, y=4 e \frac{x}{3}+\frac{z}{5}=1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Região está no primeiro octante, ou seja:
    • x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • A região é limitada pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0.
  • A região é limitada também pelo plano y=4.
  • A região é limitada pelo plano \dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{5}=1.
  • Pergunta: calcular o volume da porção do sólido determinada por essas condições.

Passo 2

Vamos entender a forma geométrica da região (visualização básica).
  • A equação \dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{5}=1 é um plano que, na interseção com o plano y= constante (qualquer valor de y), intercepta os eixos x e z nos pontos:
    • intercepto em x: tomar z=0 x=3;
    • intercepto em z: tomar x=0 z=5.
  • Assim, projetando a região sobre o plano x\!z (i.e. fixando y), a área limitada por x\ge0, z\ge0 e \dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{5}\le1 é um triângulo cujos vértices são (0,0), (3,0) e (0,5).
  • Como o plano \dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{5}=1 não envolve y, essa projeção em x\!z é a mesma para todo y. O limite em y é 0\le y\le 4.
  • Conclusão geométrica útil: a região é um prisma reto cujo “base” é o triângulo no plano x\!z descrito acima e cuja “altura” na direção y vale 4.

Passo 3

Escolher como escrever o volume por integral e explicar o significado.
  • Volume de uma região R pode ser escrito como a integral tripla
V=\iiint_{R} dV,
onde dV representa um elemento de volume infinitesimal (por exemplo dx\,dz\,dy se essa for a ordem escolhida).
  • Como o limite em y é independente de x e z, é conveniente integrar primeiro sobre x e z (a área da base triangular) e depois sobre y.
  • Vamos escolher a ordem de integração \,dx\,dz\,dy. Assim:
V=\int_{y=0}^{4}\left(\iint_{T} dx\,dz\right)dy,
onde T é o triângulo no plano x\!z definido por x\ge0, z\ge0 e \dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{5}\le1.

Passo 4

Determinar limites explícitos para x e z e montar a integral iterada.
  • Da inequação \dfrac{x}{3}+\dfrac{z}{5}\le1 isolamos x como função de z:
x \le 3\Bigl(1-\frac{z}{5}\Bigr)=3-\frac{3}{5}z.
  • Para cobrir todo o triângulo T podemos tomar z variando de 0 até 5 (intercepto em z) e, para cada z, x variando de 0 até 3-\dfrac{3}{5}z.
  • Portanto a integral tripla fica
V=\int_{y=0}^{4}\int_{z=0}^{5}\int_{x=0}^{\,3-\tfrac{3}{5}z} dx\,dz\,dy.

Passo 5

Calcular as integrais internas passo a passo (integração sobre x e z).
  • Primeiro integrar em x:
\int_{x=0}^{\,3-\tfrac{3}{5}z} dx = \Bigl[x\Bigr]_{0}^{\,3-\tfrac{3}{5}z} = 3-\tfrac{3}{5}z.
  • Agora integrar em z:
\int_{z=0}^{5}\Bigl(3-\tfrac{3}{5}z\Bigr)dz = \Bigl[3z-\tfrac{3}{10}z^{2}\Bigr]_{0}^{5}.
  • Avaliando em z=5:
3\cdot 5-\tfrac{3}{10}\cdot 5^{2} =15-\tfrac{3}{10}\cdot 25 =15-\tfrac{75}{10} =15-\tfrac{15}{2} =\tfrac{15}{2}.
  • Assim a área da base triangular T (a integral dupla sobre x,z) é \dfrac{15}{2}.

Passo 6

Integrar sobre y e expressar o volume final (mantendo a resposta final na seção própria).
  • A integral sobre y é simplesmente multiplicar a área da base pela altura 4:
V=\int_{y=0}^{4}\frac{15}{2}\,dy =\frac{15}{2}\cdot 4.
  • (Comentário de verificação rápida e intuitiva: a área do triângulo com base 3 e altura 5 é \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5=\tfrac{15}{2}, e o sólido é um prisma reto de altura 4, então V= área da base \times altura, consistente com a integral acima.)

Resposta

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