Determine os pontos críticos das funções abaixo e verifique os que são de máximo, mínimo ou pontos de sela. Calcule os valores extremos das funções, quando existirem.
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: a função é
. O objetivo é:
- Determinar todos os pontos críticos de
(pontos em que o gradiente é nulo). - Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
- Calcular os valores extremos das funções quando existirem (valor de
nesses pontos; e dizer se há extremos globais).
Informações relevantes dadas: a expressão algebraica de
é tudo o que precisamos para derivar e aplicar o teste das derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: primeiro calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
Explicação rápida (fórmula usada): para uma função
os pontos críticos satisfazem
Aqui é conveniente expandir
para derivar sem erro:
Calculemos
e
passo a passo:
É útil fatorar:
Fatorando:
Agora resolvemos o sistema
Vamos analisar os casos (método por casos, claro e exaustivo):
-
Se
: a segunda equação fica satisfeita; a primeira dá , então ou . Assim obtemos os pontos e . -
Se
: a primeira equação fica satisfeita; a segunda dá , então ou . O ponto já apareceu; novo é . -
Se nem
nem são zero, podemos dividir e obter o sistema linear
Subtraindo as equações obtemos
. Substituindo em
vem
, logo
. Assim o ponto
também é crítico.
Portanto os pontos críticos são
Passo 3
Como classificar cada ponto crítico (aula rápida sobre o teste das derivadas parciais de segunda ordem):
Para uma função
com segundas derivadas contínuas, calculamos a matriz Hessiana
e o discriminante (determinante)
avaliado no ponto crítico. As regras são:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas aqui (mostrando os passos):
A partir de obtemos
A partir de
A partir de
obtemos
A derivada mista (qualquer ordem) é
Assim o discriminante vale
Passo 4
Avaliando o Hessiano e
em cada ponto crítico e classificando (faço conta passo a passo):
- Em
:
Como
,
é ponto de sela.
- Em
:
Logo
é ponto de sela.
- Em
:
Portanto
é ponto de sela.
- Em
:
Como
e
, temos mínimo local em
.
Resumo das classificações: os três pontos
são pontos de sela;
é mínimo local.
Passo 5
Calcular os valores de
nos pontos críticos (esses são os valores extremos locais se houver):
Portanto o mínimo local vale
em
. Os pontos de sela têm valor
.
Passo 6
Existem máximos ou mínimos globais? Explicação curta:
é um polinômio de grau 3 em duas variáveis, portanto tende a
ao longo de certas direções — não é limitada. Por exemplo, ao tomar
temos
que quando
tende a
e quando
tende a
. Logo não existem máximos globais nem mínimos globais (a função é não limitada superior e inferiormente).
Resposta
Pontos críticos e classificação:
: ponto de sela,
: ponto de sela,
: ponto de sela,
: mínimo local,
Extremos globais: não existem máximo ou mínimo global (a função é não limitada).