Determine os pontos críticos das funções abaixo e verifique os que são de máximo, mínimo ou pontos de sela. Calcule os valores extremos das funções, quando existirem.
z=x y(x+y-1);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: a função é z=f(x,y)=x y(x+y-1). O objetivo é:
  • Determinar todos os pontos críticos de f (pontos em que o gradiente é nulo).
  • Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
  • Calcular os valores extremos das funções quando existirem (valor de z nesses pontos; e dizer se há extremos globais).
Informações relevantes dadas: a expressão algebraica de f é tudo o que precisamos para derivar e aplicar o teste das derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: primeiro calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
Explicação rápida (fórmula usada): para uma função f(x,y) os pontos críticos satisfazem
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Aqui é conveniente expandir f para derivar sem erro:
f(x,y)=x y(x+y-1)=x^2 y + x y^2 - x y.
Calculemos \partial f/\partial x e \partial f/\partial y passo a passo:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^2 y + x y^2 - x y\big) =2xy + y^2 - y.
É útil fatorar:
\frac{\partial f}{\partial x}=y(2x + y -1).
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^2 y + x y^2 - x y\big) =x^2 + 2xy - x.
Fatorando:
\frac{\partial f}{\partial y}=x(x + 2y -1).
Agora resolvemos o sistema
y(2x + y -1)=0,\qquad x(x + 2y -1)=0.
Vamos analisar os casos (método por casos, claro e exaustivo):
  • Se x=0: a segunda equação fica satisfeita; a primeira dá y(0 + y -1)=y(y-1)=0, então y=0 ou y=1. Assim obtemos os pontos (0,0) e (0,1).
  • Se y=0: a primeira equação fica satisfeita; a segunda dá x(x+0-1)=x(x-1)=0, então x=0 ou x=1. O ponto (0,0) já apareceu; novo é (1,0).
  • Se nem x nem y são zero, podemos dividir e obter o sistema linear
2x + y -1=0,\qquad x + 2y -1=0.
Subtraindo as equações obtemos x-y=0\Rightarrow x=y. Substituindo em 2x + x -1=0 vem 3x=1, logo x=y=\tfrac{1}{3}. Assim o ponto \big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big) também é crítico.
Portanto os pontos críticos são
(0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad \Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big).

Passo 3

Como classificar cada ponto crítico (aula rápida sobre o teste das derivadas parciais de segunda ordem):
Para uma função f com segundas derivadas contínuas, calculamos a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
e o discriminante (determinante) D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 avaliado no ponto crítico. As regras são:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas aqui (mostrando os passos):
A partir de \displaystyle f_x=2xy + y^2 - y obtemos
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy + y^2 - y)=2y.
A partir de \displaystyle f_y=x^2 + 2xy - x obtemos
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2xy - x)=2x.
A derivada mista (qualquer ordem) é
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^2 - y)=2x + 2y -1.
Assim o discriminante vale
D= f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = (2y)(2x) - (2x+2y-1)^2 = 4xy - (2x+2y-1)^2.]

Passo 4

Avaliando o Hessiano e D em cada ponto crítico e classificando (faço conta passo a passo):
  1. Em (0,0):
f_{xx}=2\cdot0=0,\qquad f_{yy}=2\cdot0=0,\qquad f_{xy}=2\cdot0+2\cdot0-1=-1.
D=0\cdot0 - (-1)^2 = -1 <0.
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
  1. Em (1,0):
f_{xx}=2\cdot0=0,\qquad f_{yy}=2\cdot1=2,\qquad f_{xy}=2\cdot1+0-1=1.
D=0\cdot2 - 1^2 = -1 <0.
Logo (1,0) é ponto de sela.
  1. Em (0,1):
f_{xx}=2\cdot1=2,\qquad f_{yy}=2\cdot0=0,\qquad f_{xy}=0+2\cdot1-1=1.
D=2\cdot0 - 1^2 = -1 <0.
Portanto (0,1) é ponto de sela.
  1. Em \big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big):
f_{xx}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad f_{yy}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
f_{xy}=2\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{3}-1=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}.
D=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} - \Big(\frac{1}{3}\Big)^2 = \frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}>0.
Como D>0 e f_{xx}=\frac{2}{3}>0, temos mínimo local em \big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big).
Resumo das classificações: os três pontos (0,0),(1,0),(0,1) são pontos de sela; \big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big) é mínimo local.

Passo 5

Calcular os valores de z nos pontos críticos (esses são os valores extremos locais se houver):
f(0,0)=0\cdot0(0+0-1)=0.
f(1,0)=1\cdot0(1+0-1)=0.
f(0,1)=0\cdot1(0+1-1)=0.
f\Big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-1\Big) =\frac{1}{9}\Big(\frac{2}{3}-1\Big)=\frac{1}{9}\Big(-\frac{1}{3}\Big)=-\frac{1}{27}.
Portanto o mínimo local vale z=-\tfrac{1}{27} em \big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big). Os pontos de sela têm valor z=0.

Passo 6

Existem máximos ou mínimos globais? Explicação curta: f é um polinômio de grau 3 em duas variáveis, portanto tende a \pm\infty ao longo de certas direções — não é limitada. Por exemplo, ao tomar x=y=t temos
f(t,t)=t^2(2t-1)=2t^3-t^2,
que quando t\to+\infty tende a +\infty e quando t\to-\infty tende a -\infty. Logo não existem máximos globais nem mínimos globais (a função é não limitada superior e inferiormente).

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0): ponto de sela, z=0
(1,0): ponto de sela, z=0
(0,1): ponto de sela, z=0
\big(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\big): mínimo local, z=-\tfrac{1}{27}
Extremos globais: não existem máximo ou mínimo global (a função é não limitada).

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