Para um material isotrópico e homogêneo, as relações tensão-deformação específicas também podem ser expressas a partir das contantes de Lamé da seguinte forma:
Aqui
. Determine expressões para
e
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre materiais isotrópicos e homogêneos e como as tensões e deformações se relacionam usando as constantes de Lamé (
e
). Nosso objetivo aqui é encontrar expressões para essas constantes em termos do módulo de Young (
) e da razão de Poisson (
). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as relações entre essas constantes na teoria da elasticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em materiais isotrópicos, as constantes de Lamé (
e
) estão relacionadas com o módulo de Young (
) e a razão de Poisson (
) através das seguintes equações:
Aqui,
representa a rigidez do material, e
descreve como o material se deforma lateralmente quando alongado ou comprimido.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a segunda equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Agora, isolamos
:
Finalmente, temos
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa expressão de
na primeira equação que relaciona
,
e
:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na equação de
:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Com
encontrada, voltamos à expressão de
que obtivemos no Passo 3:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
As expressões para as constantes de Lamé em termos de
e
são: