Para um material isotrópico e homogêneo, as relações tensão-deformação específicas também podem ser expressas a partir das contantes de Lamé da seguinte forma:
sigmax & =lambda epsilonv+2 mu epsilonx sigmay & =lambda epsilonv+2 mu epsilony sigmaz & =lambda epsilonv+2 mu epsilonz tauy z & =mu gammay z, taux z=mu gammax z, taux y=mu gammax y
Aqui epsilonv=epsilonx+epsilony+epsilonz. Determine expressões para lambda e mu em termos de E e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre materiais isotrópicos e homogêneos e como as tensões e deformações se relacionam usando as constantes de Lamé ( lambda e mu). Nosso objetivo aqui é encontrar expressões para essas constantes em termos do módulo de Young ( E) e da razão de Poisson ( nu). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as relações entre essas constantes na teoria da elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em materiais isotrópicos, as constantes de Lamé ( lambda e mu) estão relacionadas com o módulo de Young ( E) e a razão de Poisson ( nu) através das seguintes equações:
E = mu(3lambda + 2mu)lambda + mu
nu = lambda2(lambda + mu)
Aqui, E representa a rigidez do material, e nu descreve como o material se deforma lateralmente quando alongado ou comprimido.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a segunda equação para lambda:
nu = lambda2(lambda + mu)
Multiplicando ambos os lados por 2(lambda + mu):
2nu(lambda + mu) = lambda
Distribuindo o 2nu:
2nulambda + 2numu = lambda
Agora, isolamos lambda:
2numu = lambda - 2nulambda
2numu = lambda(1 - 2nu)
Finalmente, temos lambda em termos de mu:
lambda = 2numu1 - 2nu

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão de lambda na primeira equação que relaciona E, mu e lambda:
E = mu(3lambda + 2mu)lambda + mu
Substituindo lambda:
E = mu[3(2numu1 - 2nu) + 2mu]2numu1 - 2nu + mu

Passo 5

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
3(2numu1 - 2nu) + 2mu = 6numu1 - 2nu + 2mu = 6numu + 2mu(1 - 2nu)1 - 2nu
= 6numu + 2mu - 4numu1 - 2nu = 2mu(1 + nu)1 - 2nu
Denominador:
2numu1 - 2nu + mu = 2numu + mu(1 - 2nu)1 - 2nu = mu(2nu + 1 - 2nu)1 - 2nu = mu1 - 2nu

Passo 6

Agora, substituindo de volta na equação de E:
E = mu cdot 2mu(1 + nu)1 - 2numu1 - 2nu = 2mu^2(1 + nu)(1 - 2nu)mu = 2mu(1 + nu)1 - 2nu

Passo 7

Agora, resolvemos para mu:
E = 2mu(1 + nu)1 - 2nu implies mu = E(1 - 2nu)2(1 + nu)

Passo 8

Com mu encontrada, voltamos à expressão de lambda que obtivemos no Passo 3:
lambda = 2numu1 - 2nu
Substituindo mu:
Simplificando:
lambda = 2nu cdot E(1 - 2nu)2(1 + nu)1 - 2nu = 2nu E(1 - 2nu)2(1 + nu)(1 - 2nu)

Resposta

As expressões para as constantes de Lamé em termos de E e nu são:
mu = E(1 - 2nu)2(1 + nu)
lambda = nu E(1 + nu)

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