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Demonstre que a soma de dois operadores hermitianos é também um operador hermitiano.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
  • Dados: dois operadores A e B atuando num espaço com produto interno (espaço de Hilbert, por exemplo). Sabe-se que A e B são hermitianos.
  • Pedido: demonstrar que a soma A+B é também um operador hermitiano.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples).
  • Produto interno: denota-se por \langle \varphi,\psi\rangle para vetores \varphi,\psi. Adotarei a convenção usual na física: o produto interno é linear no segundo argumento e conjugado-linear no primeiro; ou seja, para escalares c e vetores \varphi,\psi,\chi vale
\langle \varphi, c\psi+\chi\rangle = c\,\langle\varphi,\psi\rangle + \langle\varphi,\chi\rangle,
e
\langle c\varphi,\psi\rangle = \overline{c}\,\langle\varphi,\psi\rangle,
onde \overline{c} é o conjugado complexo de c.
  • Definição de adjunto: para um operador linear T existe, por definição, um operador T^\dagger tal que, para todos os vetores \varphi,\psi,
\langle \varphi, T\psi\rangle = \langle T^\dagger\varphi, \psi\rangle.
Essa igualdade é a definição do adjunto T^\dagger.
  • Definição de operador hermitiano: um operador T é hermitiano se T^\dagger = T. Em termos de produto interno, isto é equivalente a
\langle \varphi, T\psi\rangle = \langle T\varphi, \psi\rangle\quad\text{para todos }\varphi,\psi.

Passo 3

Começo a prova usando a definição por produto interno (maneira direta e elementar).
Seja \varphi e \psi vetores quaisquer. Quero comparar \langle \varphi,(A+B)\psi\rangle com \langle (A+B)\varphi,\psi\rangle.
Pelo fato de o produto interno ser linear no segundo argumento, tenho
\langle \varphi,(A+B)\psi\rangle = \langle \varphi, A\psi + B\psi\rangle = \langle \varphi, A\psi\rangle + \langle \varphi, B\psi\rangle.

Passo 4

Uso que A e B são hermitianos: pela definição, para todo par \varphi,\psi vale
\langle \varphi, A\psi\rangle = \langle A\varphi, \psi\rangle \qquad\text{e}\qquad \langle \varphi, B\psi\rangle = \langle B\varphi, \psi\rangle.
Substituindo essas igualdades na expressão do passo anterior,
\langle \varphi,(A+B)\psi\rangle = \langle A\varphi, \psi\rangle + \langle B\varphi, \psi\rangle.

Passo 5

Agrupando a soma no primeiro argumento do produto interno (ainda usando linearidade, agora no primeiro argumento aparece conjugado-linearidade, mas aqui só somamos vetores, o que é válido), obtemos
\langle A\varphi, \psi\rangle + \langle B\varphi, \psi\rangle = \langle A\varphi + B\varphi, \psi\rangle = \langle (A+B)\varphi, \psi\rangle.
Portanto, para todos \varphi,\psi,
\langle \varphi,(A+B)\psi\rangle = \langle (A+B)\varphi, \psi\rangle.

Passo 6

Concluo pela definição de operador hermitiano: como \langle \varphi,(A+B)\psi\rangle = \langle (A+B)\varphi,\psi\rangle para todos \varphi,\psi, segue que (A+B)^\dagger = A+B. Logo A+B é hermitiano.
(Comentário curto e útil: a propriedade crucial utilizada foi a linearidade do produto interno e o fato de A e B satisfazerem \langle \varphi,A\psi\rangle=\langle A\varphi,\psi\rangle e análogo para B.)

Resposta

(A+B)^\dagger = A+B, portanto A+B é hermitiano.

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