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Demonstre que a soma de dois operadores hermitianos é também um operador hermitiano.
Demonstre que a soma de dois operadores hermitianos é também um operador hermitiano.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara.
- Dados: dois operadores
e atuando num espaço com produto interno (espaço de Hilbert, por exemplo). Sabe-se que e são hermitianos. - Pedido: demonstrar que a soma
é também um operador hermitiano.
Passo 2
Definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples).
- Produto interno: denota-se por
para vetores . Adotarei a convenção usual na física: o produto interno é linear no segundo argumento e conjugado-linear no primeiro; ou seja, para escalares e vetores vale
e
onde
é o conjugado complexo de
.
- Definição de adjunto: para um operador linear
existe, por definição, um operador tal que, para todos os vetores ,
Essa igualdade é a definição do adjunto
.
- Definição de operador hermitiano: um operador
é hermitiano se . Em termos de produto interno, isto é equivalente a
Passo 3
Começo a prova usando a definição por produto interno (maneira direta e elementar).
Seja
e
vetores quaisquer. Quero comparar
com
.
Pelo fato de o produto interno ser linear no segundo argumento, tenho
Passo 4
Uso que
e
são hermitianos: pela definição, para todo par
vale
Substituindo essas igualdades na expressão do passo anterior,
Passo 5
Agrupando a soma no primeiro argumento do produto interno (ainda usando linearidade, agora no primeiro argumento aparece conjugado-linearidade, mas aqui só somamos vetores, o que é válido), obtemos
Portanto, para todos
,
Passo 6
Concluo pela definição de operador hermitiano: como
para todos
, segue que
. Logo
é hermitiano.
(Comentário curto e útil: a propriedade crucial utilizada foi a linearidade do produto interno e o fato de
e
satisfazerem
e análogo para
.)