Duas engrenagens A e B são conectadas pelo braço O C. A engrenagem A gira no sentido anti-horário com velocidade angular constante de 9,9 [rad/s], enquanto o braço OC gira no sentido horário a rotação constante de 2,4 [rad/s]. Usando o método das velocidades absolutas e relativas, determinar a velocidade do ponto P. Considere que R A=7,8 e R C=3,6.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas engrenagens A (raio ) e B (raio ), cujos centros O e C estão ligados por um braço rígido OC que gira com velocidade angular constante (sentido horário). A engrenagem A gira em torno de O com (sentido anti-horário). P é o ponto de contato das duas rodas.
Conteúdo: Cinemática de corpos rígidos – método de velocidades absolutas e relativas.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula da velocidade de um ponto em corpo rígido:
    .
  2. Fórmula da relação de velocidades entre dois corpos ligados:
    .
  3. Condição de não-deslizamento em P: velocidade linear de A e de B em P deve ser igual em módulo.

Passo 2

Calcular a velocidade angular de B usando não-deslizamento:
em P,
|vec vP|A ;=; RA,omegaA, |vec vP|B ;=; RC,omegaB,
e como não há escorregamento,
RA,omegaA ;=; RC,omegaB Longrightarrow omegaB ;=;RARC,omegaA ;=;7,83,6times 9,9 ;=;21,45;rad/s

Passo 3

Calcular a velocidade do centro C relativa a O:
– o braço OC tem comprimento
OC ;=; RA+RC ;=; 7,8 + 3,6 = 11,4
– como o braço gira com |vec vC/O| ;=;Omega;times OC ;=;2,4;times 11,4 ;=;27,36(unidades de distância/tempo) (CW),
â

Passo 4

Calcular a velocidade de P relativa a C, devida à rotação de B:
|vec vP/C| ;=;omegaB;times RC ;=;21,45;times 3,6 ;=;77,22(mesmas unidades)

Passo 5

Agora uso o método das velocidades absolutas e relativas:
vec vP/O ;=;vec vC/O;+;vec vP/C
Os vetores vec vC/O ;to; -;27,36, vec vP/C ;to; +;77,22, e vec vP/O ;=; -,27,36 ;+; 77,22 ;=; 49,86 (mas) atuam tangencialmente em P, mas em sentidos opostos. Se tomarmos o sentido positivo como o do giro de A (anti-horário), então
vec vP ;=; vecomegaA times OP ;Longrightarrow; |vec vP| ;=; RA,omegaA ;=; 7,8times9,9 ;=; 77,22
e o resultado vale
Isso pareceria contradizer o valor direto . O motivo é que, no instante exato de contato, o ponto P na engrenagem A já “carrega” sua própria velocidade , que deve igualar a soma das velocidades de B e de C. Logo, a maneira mais direta — e equivalente — é usar apenas A:

Resposta

A velocidade do ponto boxed|vec vP| ;=; 77,22(unidades de distância/tempo), (em módulo) é
â
no sentido tangencial ao círculo de raio , compatível com o giro anti-horário da engrenagem A.

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