(\mathbf{2 , 0}) Um eixo maciço de alumínio de 80 mm de diâmetro se introduz concentricamente dentro de um tubo de aço. Determine o diâmetro interno do tubo de maneira que não exista pressão alguma de contato entre o eixo e o tubo, ainda que o eixo de alumínio suporte uma força axial de compressão de 400 kN . Para o alumínio, assuma v=1 / 3 e E=70 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado dá um eixo maciço de alumínio de diâmetro d=80\text{ mm} inserido em um tubo de aço, e pede o diâmetro interno do tubo de modo que não surja pressão de contato quando o eixo recebe esforço axial de compressão P=400\text{ kN}. Para isso, usaremos mecânica dos materiais: tensão axial, lei de Hooke e coeficiente de Poisson para encontrar a dilatação radial do eixo e, assim, definir a folga mínima.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do eixo:
A \;=\;\frac{\pi d^{2}}{4} \;=\;\frac{\pi\,(80\text{ mm})^{2}}{4} \;=\;1600\pi\;\text{mm}^{2} \approx 5026{,}5\;\text{mm}^{2}.

Passo 3

Determinar a tensão axial no eixo:
\sigma \;=\;\frac{P}{A} \;=\;\frac{400\,000\text{ N}}{1600\pi\;\text{mm}^{2}} \;\approx\;79{,}6\;\text{MPa}.

Passo 4

Pela lei de Hooke, a deformação axial é
\epsilon_{\rm ax} \;=\;\frac{\sigma}{E} \;=\;\frac{79{,}6\;\text{MPa}}{70\,000\;\text{MPa}} \;\approx\;1{,}137\times10^{-3}.
Como é compressão, \epsilon_{\rm ax} é negativa, mas interessa só o valor. A deformação radial, dada pelo coeficiente de Poisson \nu=1/3, vale
\epsilon_{\rm rad} \;=\;-\,\nu\,\epsilon_{\rm ax} \;=\;-\,\frac{1}{3}\bigl(-1{,}137\times10^{-3}\bigr) \;=\;0{,}379\times10^{-3}.

Passo 5

A variação do diâmetro do eixo é
\Delta d \;=\;\epsilon_{\rm rad}\,d \;=\;(0{,}379\times10^{-3})\times80\text{ mm} \;\approx\;0{,}0303\text{ mm}.

Passo 6

Para não haver contato, o diâmetro interno do tubo deve ser pelo menos
d_{\rm tubo} \;=\;d+\Delta d \;=\;80{,}000\text{ mm}+0{,}0303\text{ mm} \;\approx\;80{,}030\text{ mm}.

Resposta

O diâmetro interno do tubo deve ser aproximadamente
80{,}03\text{ mm}.

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