Questão 1: (1,25 ponto) Um elevador sobe com aceleração
. No exato momento em que sua velocidade é de
, uma gota d’água se desprende do teto e cai. Se o elevador possui uma altura
, determine o tempo que a gota gasta para colidir com o piso em relação a um observador no solo. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade igual a
.
a)
b)
c)
d)
e) 1 s
a)
b)
c)
d)
e) 1 s
Passo 1
O enunciado pede que se determine o tempo que a gota gasta para colidir com o piso do elevador segundo um observador no solo. Dados fornecidos:
- Aceleração do elevador (para cima):
. - No instante da soltura, a velocidade do elevador (para cima) é
. Nesse instante a gota se desprende do teto, portanto sua velocidade inicial no referencial do solo é para cima (peguei esse valor do enunciado). - Altura entre teto e piso do elevador:
(peguei esse valor do enunciado). - Aceleração da gravidade:
(peguei esse valor do enunciado). - Desprezar resistência do ar.
O que se pergunta: calcular o tempo
que decorre desde a soltura até a colisão da gota com o piso, medido no referencial do solo.
Passo 2
Escolher um sistema de referência e escrever as equações do movimento (vai ser bem direto). Vou usar o referencial do solo com eixo vertical
positivo para cima. Defino, no instante da soltura (
):
- posição inicial do piso:
(escolha conveniente de origem), - posição inicial da gota (no teto):
, - velocidade inicial comum:
(para cima).
Explicação rápida da fórmula que vou usar: para um movimento com aceleração constante
, a posição é dada por
onde
é a posição inicial,
a velocidade inicial e
a aceleração (tudo no mesmo referencial). Isso é uma fórmula básica de cinemática relembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição.
Passo 3
Escrever a equação do movimento do piso (corpo do elevador) no referencial do solo. O piso tem aceleração constante
para cima e velocidade inicial
. Com
:
Aqui cada termo significa:
é a contribuição da velocidade inicial e
é o deslocamento adicional por causa da aceleração do elevador.
Passo 4
Escrever a equação do movimento da gota no referencial do solo. A gota, após soltar, é um projétil em queda livre com aceleração para baixo de módulo
. Como escolhemos
positivo para cima, a aceleração da gota é
. A gota tem posição inicial
e velocidade inicial
para cima. Logo:
Aqui o termo
representa a desaceleração (e depois aceleração para baixo) causada pela gravidade.
Passo 5
Condição de colisão: a gota atinge o piso quando as posições forem iguais:
Substituindo as expressões:
Perceba que o termo
aparece dos dois lados e se cancela — explicação física: tanto a gota quanto o elevador tinham a mesma velocidade inicial no instante da soltura, por isso o movimento relativo inicial não depende desse
.
Passo 6
Simplificar a equação após cancelamento de
:
Juntar os termos em
:
Isolar
:
Essa fórmula tem interpretação física simples: a queda relativa entre teto e piso “vê” uma aceleração efetiva igual a
porque o piso se acelera para cima enquanto a gota é acelerada para baixo por
.
Passo 7
Substituir os valores numéricos (
,
,
):
Tomando raiz quadrada (tempo é positivo):
Portanto o tempo até a colisão, medido no solo, é
.
Passo 8
(Observação didática alternativa — método do referencial do elevador) Outra maneira de ver mais rapidamente: no referencial do elevador (não inercial) a gota parte com velocidade inicial nula relativa ao elevador (pois foi solta do teto) e sofre uma aceleração efetiva para baixo igual a
(gravidade mais aceleração fictícia devido ao referencial acelerado para cima). Então a queda relativa de altura
satisfaz
o que dá a mesma expressão e o mesmo resultado
. Só é importante entender que ambos os métodos são equivalentes; escolhi o método do solo para mostrar as posições explicitamente.
Resposta
c)