Questão 1: (1,25 ponto) Um elevador sobe com aceleração a_{E}=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. No exato momento em que sua velocidade é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, uma gota d’água se desprende do teto e cai. Se o elevador possui uma altura H=2 \mathrm{~m}, determine o tempo que a gota gasta para colidir com o piso em relação a um observador no solo. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade igual a g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) 0,25 \mathrm{~s}
b) 0,75 \mathrm{~s}
c) 0,5 \mathrm{~s}
d) 1,25 \mathrm{~s}
e) 1 s

Passo 1

O enunciado pede que se determine o tempo que a gota gasta para colidir com o piso do elevador segundo um observador no solo. Dados fornecidos:
  • Aceleração do elevador (para cima): a_{E}=6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • No instante da soltura, a velocidade do elevador (para cima) é v_{0}=5\\ \mathrm{m/s}. Nesse instante a gota se desprende do teto, portanto sua velocidade inicial no referencial do solo é v_{0}=5\\ \mathrm{m/s} para cima (peguei esse valor do enunciado).
  • Altura entre teto e piso do elevador: H=2\\ \mathrm{m} (peguei esse valor do enunciado).
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (peguei esse valor do enunciado).
  • Desprezar resistência do ar.
O que se pergunta: calcular o tempo t que decorre desde a soltura até a colisão da gota com o piso, medido no referencial do solo.

Passo 2

Escolher um sistema de referência e escrever as equações do movimento (vai ser bem direto). Vou usar o referencial do solo com eixo vertical y positivo para cima. Defino, no instante da soltura ( t=0):
  • posição inicial do piso: y_{\text{piso}}(0)=0 (escolha conveniente de origem),
  • posição inicial da gota (no teto): y_{\text{gota}}(0)=H,
  • velocidade inicial comum: v_{0}=5\\ \mathrm{m/s} (para cima).
Explicação rápida da fórmula que vou usar: para um movimento com aceleração constante a, a posição é dada por
y(t)=y(0)+v(0)\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2},
onde y(0) é a posição inicial, v(0) a velocidade inicial e a a aceleração (tudo no mesmo referencial). Isso é uma fórmula básica de cinemática relembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição.

Passo 3

Escrever a equação do movimento do piso (corpo do elevador) no referencial do solo. O piso tem aceleração constante a_{E} para cima e velocidade inicial v_{0}. Com y_{\text{piso}}(0)=0:
y_{\text{piso}}(t)=0+v_{0}\,t+\tfrac{1}{2}a_{E}\,t^{2}.
Aqui cada termo significa: v_{0}t é a contribuição da velocidade inicial e \tfrac{1}{2}a_{E}t^{2} é o deslocamento adicional por causa da aceleração do elevador.

Passo 4

Escrever a equação do movimento da gota no referencial do solo. A gota, após soltar, é um projétil em queda livre com aceleração para baixo de módulo g. Como escolhemos y positivo para cima, a aceleração da gota é -g. A gota tem posição inicial y_{\text{gota}}(0)=H e velocidade inicial v_{0} para cima. Logo:
y_{\text{gota}}(t)=H+v_{0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Aqui o termo -\tfrac{1}{2}g t^{2} representa a desaceleração (e depois aceleração para baixo) causada pela gravidade.

Passo 5

Condição de colisão: a gota atinge o piso quando as posições forem iguais:
y_{\text{gota}}(t)=y_{\text{piso}}(t).
Substituindo as expressões:
H+v_{0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=v_{0}\,t+\tfrac{1}{2}a_{E}\,t^{2}.
Perceba que o termo v_{0}\,t aparece dos dois lados e se cancela — explicação física: tanto a gota quanto o elevador tinham a mesma velocidade inicial no instante da soltura, por isso o movimento relativo inicial não depende desse v_{0}.

Passo 6

Simplificar a equação após cancelamento de v_{0}t:
H-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=\tfrac{1}{2}a_{E}\,t^{2}.
Juntar os termos em t^{2}:
H=\tfrac{1}{2}(g+a_{E})\,t^{2}.
Isolar t^{2}:
t^{2}=\frac{2H}{g+a_{E}}.
Essa fórmula tem interpretação física simples: a queda relativa entre teto e piso “vê” uma aceleração efetiva igual a g+a_{E} porque o piso se acelera para cima enquanto a gota é acelerada para baixo por g.

Passo 7

Substituir os valores numéricos ( H=2\\ \mathrm{m}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, a_{E}=6\\ \mathrm{m/s^{2}}):
t^{2}=\frac{2\cdot 2}{10+6}=\frac{4}{16}=0{,}25.
Tomando raiz quadrada (tempo é positivo):
t=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo até a colisão, medido no solo, é 0{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 8

(Observação didática alternativa — método do referencial do elevador) Outra maneira de ver mais rapidamente: no referencial do elevador (não inercial) a gota parte com velocidade inicial nula relativa ao elevador (pois foi solta do teto) e sofre uma aceleração efetiva para baixo igual a g+a_{E} (gravidade mais aceleração fictícia devido ao referencial acelerado para cima). Então a queda relativa de altura H satisfaz
H=\tfrac{1}{2}(g+a_{E})t^{2},
o que dá a mesma expressão e o mesmo resultado t=0{,}5\\ \mathrm{s}. Só é importante entender que ambos os métodos são equivalentes; escolhi o método do solo para mostrar as posições explicitamente.

Resposta

c) 0{,}5\\ \mathrm{s}

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