1. Variações em um Capacitor Conectado à Bateria: Um capacitor de placas paralelas circulares de 10,0 \mathrm{mF} é conectado a uma bateria de 12,0 \mathrm{~V}.
    (a) Qual é a carga inicial sobre cada placa do capacitor?
    (b) Se a distância entre as placas for duplicada, enquanto o capacitor permanece conectado à bateria, qual será a nova carga sobre as placas?
    (c) Supondo que o raio de cada placa seja duplicado (sem alteração na distância entre elas) e o capacitor seja então conectado à mesma bateria de 12,0 \mathrm{~V}, quanta carga haveria sobre as placas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Capacitância inicial: C=10,0\\ \mathrm{mF}.
  • Tensão da bateria: V=12,0\\ \mathrm{V}.
  • (a) Pedem a carga inicial sobre cada placa do capacitor.
  • (b) Pedem a nova carga se a distância entre as placas for duplicada, mantendo o capacitor conectado à mesma bateria.
  • (c) Pedem a carga se o raio de cada placa for duplicado (distância entre placas inalterada) e o capacitor for então conectado à mesma bateria.
Observações extraídas do enunciado:
  • O capacitor é de placas paralelas circulares, mas como a capacitância numérica já foi fornecida em (a), não é necessário calcular a área explicitamente para obter a carga inicial.
  • Em (b) e (c) o capacitor permanece conectado à bateria (ou é conectado à mesma bateria), ou seja, a tensão V se mantém igual a 12,0\\ \mathrm{V} em todos os casos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A relação fundamental entre carga, capacitância e tensão é
Q = C\,V,
onde Q é a magnitude da carga em cada placa (em coulombs), C é a capacitância (em farads) e V é a diferença de potencial entre as placas (em volts).
  • Para um capacitor de placas paralelas, a capacitância depende da geometria e da separação:
C = \varepsilon_{0}\,\frac{A}{d},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), A é a área de cada placa (em \mathrm{m}^2) e d é a distância entre as placas (em m).
  • Deste último fórmulas seguem duas dependências úteis:
    • Se a distância d for duplicada ( d\to 2d), então C\to C/2.
    • Se o raio r das placas for duplicado ( r\to 2r), a área A=\pi r^{2} se torna A'\!=\!\pi(2r)^{2}=4\pi r^{2}=4A, logo C\to 4C.
  • Importante: se o capacitor está conectado à bateria, V permanece constante (a bateria fornece ou retira carga para manter a tensão). Assim, ao alterar C mudará Q porque Q=C V com V fixo.

Passo 3

Cálculo da carga inicial (parte a).
  • Converta a capacitância para SI: 10,0\\ \mathrm{mF}=10,0\times10^{-3}\\ \mathrm{F}.
  • Use Q=CV. Substituindo os valores:
Q = \bigl(10,0\times10^{-3}\\ \mathrm{F}\bigr)\times\bigl(12,0\\ \mathrm{V}\bigr).
  • Faça a multiplicação passo a passo: 10,0\times12,0=120,0. Aplicando o fator 10^{-3} fica 120,0\times10^{-3}=0,120.
  • Portanto a carga em cada placa (em magnitude) é
Q=0,120\\ \mathrm{C}.
  • Observação física: uma placa terá carga +0,120\\ \mathrm{C} e a outra -0,120\\ \mathrm{C} (mesma magnitude, sinais opostos).

Passo 4

Cálculo da nova carga quando a distância entre as placas é duplicada (parte b).
  • Como C=\varepsilon_{0}A/d, se d\to2d então a nova capacitância C' vale
C'=\varepsilon_{0}\frac{A}{2d}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\frac{A}{d}=\frac{C}{2}.
  • O capacitor permanece conectado à bateria, portanto V continua 12,0\\ \mathrm{V}. A nova carga é
Q' = C'V = \frac{C}{2}V = \frac{1}{2}(CV)=\frac{1}{2}Q.
  • Usando o valor de Q calculado no Passo 3:
Q'=\frac{1}{2}\times0,120\\ \mathrm{C}=0,060\\ \mathrm{C}.
  • Novamente, as placas terão cargas \pm0,060\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da carga quando o raio de cada placa é duplicado e o capacitor é conectado à bateria (parte c).
  • Se r\to2r então a área A se torna A' = 4A. Pela fórmula C=\varepsilon_{0}A/d segue que a nova capacitância é
C''=\varepsilon_{0}\frac{A'}{d}=\varepsilon_{0}\frac{4A}{d}=4C.
  • Ligado à mesma bateria ( V=12,0\\ \mathrm{V}), a nova carga é
Q''=C''V=4CV=4Q.
  • Usando Q=0,120\\ \mathrm{C}:
Q''=4\times0,120\\ \mathrm{C}=0,480\\ \mathrm{C}.
  • As placas terão cargas \pm0,480\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Resumo físico rápido e dica para prova:
  • Quando o capacitor está conectado à bateria, a tensão é fixa e a carga varia conforme a capacitância: Q=CV.
  • Dependências úteis para decorar: C\propto A (logo duplicar o raio → C multiplicado por 4) e C\propto 1/d (duplicar d C dividido por 2).
  • Se o capacitor estivesse isolado (desconectado da bateria), a carga permaneceria constante ao variar d ou A; aqui não é o caso porque o enunciado mantém o capacitor conectado à bateria.
  • Força o cálculo na prova: converta unidades, aplique Q=CV, e use as relações geométricas acima para modificar C. Vai dar certo — você consegue!

Resposta

(a) 0,120\\ \mathrm{C}
(b) 0,060\\ \mathrm{C}
(c) 0,480\\ \mathrm{C}

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