- Variações em um Capacitor Conectado à Bateria: Um capacitor de placas paralelas circulares de
é conectado a uma bateria de
.
(a) Qual é a carga inicial sobre cada placa do capacitor?
(b) Se a distância entre as placas for duplicada, enquanto o capacitor permanece conectado à bateria, qual será a nova carga sobre as placas?
(c) Supondo que o raio de cada placa seja duplicado (sem alteração na distância entre elas) e o capacitor seja então conectado à mesma bateria de
, quanta carga haveria sobre as placas?
(a) Qual é a carga inicial sobre cada placa do capacitor?
(b) Se a distância entre as placas for duplicada, enquanto o capacitor permanece conectado à bateria, qual será a nova carga sobre as placas?
(c) Supondo que o raio de cada placa seja duplicado (sem alteração na distância entre elas) e o capacitor seja então conectado à mesma bateria de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Capacitância inicial:
. - Tensão da bateria:
. - (a) Pedem a carga inicial sobre cada placa do capacitor.
- (b) Pedem a nova carga se a distância entre as placas for duplicada, mantendo o capacitor conectado à mesma bateria.
- (c) Pedem a carga se o raio de cada placa for duplicado (distância entre placas inalterada) e o capacitor for então conectado à mesma bateria.
Observações extraídas do enunciado:
- O capacitor é de placas paralelas circulares, mas como a capacitância numérica já foi fornecida em (a), não é necessário calcular a área explicitamente para obter a carga inicial.
- Em (b) e (c) o capacitor permanece conectado à bateria (ou é conectado à mesma bateria), ou seja, a tensão
se mantém igual a em todos os casos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A relação fundamental entre carga, capacitância e tensão é
onde
é a magnitude da carga em cada placa (em coulombs),
é a capacitância (em farads) e
é a diferença de potencial entre as placas (em volts).
- Para um capacitor de placas paralelas, a capacitância depende da geometria e da separação:
onde
é a permissividade do vácuo (
),
é a área de cada placa (em
) e
é a distância entre as placas (em m).
- Deste último fórmulas seguem duas dependências úteis:
- Se a distância
for duplicada ( ), então . - Se o raio
das placas for duplicado ( ), a área se torna , logo .
- Se a distância
- Importante: se o capacitor está conectado à bateria,
permanece constante (a bateria fornece ou retira carga para manter a tensão). Assim, ao alterar mudará porque com fixo.
Passo 3
Cálculo da carga inicial (parte a).
- Converta a capacitância para SI:
. - Use
. Substituindo os valores:
- Faça a multiplicação passo a passo:
. Aplicando o fator fica . - Portanto a carga em cada placa (em magnitude) é
- Observação física: uma placa terá carga
e a outra (mesma magnitude, sinais opostos).
Passo 4
Cálculo da nova carga quando a distância entre as placas é duplicada (parte b).
- Como
, se então a nova capacitância vale
- O capacitor permanece conectado à bateria, portanto
continua . A nova carga é
- Usando o valor de
calculado no Passo 3:
- Novamente, as placas terão cargas
.
Passo 5
Cálculo da carga quando o raio de cada placa é duplicado e o capacitor é conectado à bateria (parte c).
- Se
então a área se torna . Pela fórmula segue que a nova capacitância é
- Ligado à mesma bateria (
), a nova carga é
- Usando
:
- As placas terão cargas
.
Passo 6
Resumo físico rápido e dica para prova:
- Quando o capacitor está conectado à bateria, a tensão é fixa e a carga varia conforme a capacitância:
. - Dependências úteis para decorar:
(logo duplicar o raio → multiplicado por 4) e (duplicar → dividido por 2). - Se o capacitor estivesse isolado (desconectado da bateria), a carga permaneceria constante ao variar
ou ; aqui não é o caso porque o enunciado mantém o capacitor conectado à bateria. - Força o cálculo na prova: converta unidades, aplique
, e use as relações geométricas acima para modificar . Vai dar certo — você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)