Questão 4: Uma pedra é lançada por uma catapulta no instante
com uma velocidade inicial de módulo
e ângulo
acima da horizontal.
[1,0] Qual a distância horizontal (alcance máximo) percorrida pela pedra?
[1,0] Qual a distância horizontal (alcance máximo) percorrida pela pedra?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: velocidade inicial de módulo
. - Dado: ângulo de lançamento acima da horizontal
. - Dado implícito: lançamento no instante
de um ponto em nível do terreno (assumo que a pedra é lançada e volta ao mesmo nível). - Pedido: distância horizontal percorrida pela pedra, ou seja, o alcance máximo
.
Observação: a cada vez que eu usar matemática (variáveis, números, fórmulas) vou escrever em TeX para ficar certinho.
Passo 2
Explicar a ideia física e as fórmulas básicas (passo-a-passo sem pular etapas).
- Em movimentos de projétil sem resistência do ar, a componente horizontal do movimento e a componente vertical são independentes.
- Horizontalmente há velocidade constante (não há aceleração horizontal): a posição horizontal é
. - Verticalmente há aceleração constante para baixo igual a
(aceleração da gravidade). Vou usar . - Quebrar a velocidade inicial em componentes:
Aqui é a componente horizontal (módulo da velocidade ao longo do eixo x) e é a componente vertical (inicial, para cima). e são as funções trigonométricas do ângulo.
Agora calculo as componentes usando valores trigonométricos aproximados (valores padrão):
Calcule
e
:
Passo 3
Determinar o tempo total de voo
.
- A componente vertical da velocidade varia segundo
. - No ponto mais alto
; tempo para subir até o topo é . - Como o lançamento e o pouso estão no mesmo nível, o tempo total de voo é o dobro do tempo de subida:
Substituindo os números:
(observe que
foi calculado como divisão decimal:
).
Então
Passo 4
Calcular o alcance horizontal
.
- Como a velocidade horizontal é constante, o alcance é
Substituindo:
Faço a multiplicação em passos para você poder fazer na prova sem calculadora:
Somando:
Arredondando de forma consistente com os dados (duas casas decimais ou três dígitos significativos), fica
Passo 5
Verificação usando a fórmula direta do alcance (opcional, para fixar a ideia).
-
Existe a fórmula conhecida para alcance de um projétil lançado e que volta ao mesmo nível:Isto vem de escrever
com e usar , , além da identidade . -
Calculo rápido com essa fórmula para conferir:
que confirma o resultado anterior.