Questão 4: Uma pedra é lançada por uma catapulta no instante t=0 com uma velocidade inicial de módulo 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e ângulo 40,0^{\circ} acima da horizontal.
[1,0] Qual a distância horizontal (alcance máximo) percorrida pela pedra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: velocidade inicial de módulo v_0 = 20,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Dado: ângulo de lançamento acima da horizontal \theta = 40,0^\circ.
  • Dado implícito: lançamento no instante t=0 de um ponto em nível do terreno (assumo que a pedra é lançada e volta ao mesmo nível).
  • Pedido: distância horizontal percorrida pela pedra, ou seja, o alcance máximo R.
Observação: a cada vez que eu usar matemática (variáveis, números, fórmulas) vou escrever em TeX para ficar certinho.

Passo 2

Explicar a ideia física e as fórmulas básicas (passo-a-passo sem pular etapas).
  • Em movimentos de projétil sem resistência do ar, a componente horizontal do movimento e a componente vertical são independentes.
  • Horizontalmente há velocidade constante (não há aceleração horizontal): a posição horizontal é x(t)=v_{0x}\,t.
  • Verticalmente há aceleração constante para baixo igual a g (aceleração da gravidade). Vou usar \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}\,.
  • Quebrar a velocidade inicial em componentes: v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.Aqui v_{0x} é a componente horizontal (módulo da velocidade ao longo do eixo x) e v_{0y} é a componente vertical (inicial, para cima). \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo.
Agora calculo as componentes usando valores trigonométricos aproximados (valores padrão):
\sin 40,0^\circ \approx 0,6428,\qquad \cos 40,0^\circ \approx 0,7660.
Calcule v_{0x} e v_{0y}:
v_{0x} = 20,0\cdot 0,7660 = 15,320\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 20,0\cdot 0,6428 = 12,856\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o tempo total de voo T.
  • A componente vertical da velocidade varia segundo v_y(t)=v_{0y}-g t.
  • No ponto mais alto v_y=0; tempo para subir até o topo é t_{\text{subida}} = v_{0y}/g.
  • Como o lançamento e o pouso estão no mesmo nível, o tempo total de voo é o dobro do tempo de subida: T = 2\,\frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo os números:
t_{\text{subida}} = \frac{12,856}{9,80} = 1,312\\ \mathrm{s}
(observe que 12,856/9,80 foi calculado como divisão decimal: 12,856\div 9,80 \approx 1,312).
Então
T = 2\cdot 1,312 = 2,624\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o alcance horizontal R.
  • Como a velocidade horizontal é constante, o alcance é R = v_{0x}\,T.
Substituindo:
R = 15,320\cdot 2,624.
Faço a multiplicação em passos para você poder fazer na prova sem calculadora:
15,320\cdot 2,624 = 15,320\cdot(2 + 0,624)=15,320\cdot 2 + 15,320\cdot 0,624.
15,320\cdot 2 = 30,640,
15,320\cdot 0,624 = 9,55968.
Somando:
R = 30,640 + 9,55968 = 40,19968\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma consistente com os dados (duas casas decimais ou três dígitos significativos), fica
R \approx 40,20\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação usando a fórmula direta do alcance (opcional, para fixar a ideia).
  • Existe a fórmula conhecida para alcance de um projétil lançado e que volta ao mesmo nível:
    R = \frac{v_0^{2}\sin(2\theta)}{g}.
    Isto vem de escrever R=v_{0x}T com T=2v_{0y}/g e usar v_{0x}=v_0\cos\theta, v_{0y}=v_0\sin\theta, além da identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
  • Calculo rápido com essa fórmula para conferir:
    \sin(2\theta)=\sin(80,0^\circ)\approx 0,9848,
R=\frac{(20,0)^2\cdot 0,9848}{9,80}=\frac{400\cdot 0,9848}{9,80}=\frac{393,92}{9,80}=40,20\\ \mathrm{m},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

40,20\\ \mathrm{m}

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