Encontre os fasores equivalentes das expressões abaixo
v(t)=180 \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\frac{2 \pi}{3}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar os fasores equivalentes da função temporal fornecida.
Informações dadas (retirei diretamente do enunciado):
  • A tensão no domínio do tempo é v(t)=180\cdot\cos\!\left(\omega t+\dfrac{2\pi}{3}\right).
  • Amplitude (valor de pico) é 180.
  • Fase é \dfrac{2\pi}{3} radianos (que equivale a 120^\circ).
  • A frequência angular é \omega (não foi necessário valor numérico para a transformação em fasor).
O enunciado pede os “fasores equivalentes” — portanto vamos apresentar as formas comuns de fasor:
  • o fasor no formato de amplitude (valor de pico) em forma polar e retangular;
  • o fasor em valor eficaz (RMS) em forma polar e retangular.

Passo 2

O que é um fasor e as convenções que vamos usar (explicação didática):
  • Um fasor é uma representação complexa de uma senoide em regime permanente, que remove a dependência temporal e^{j\omega t}. Para uma senoide do tipo \displaystyle v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi), podemos escrever
v(t)=\Re\!\left\{ \tilde V \, e^{j\omega t}\right\},
onde \tilde V é o fasor complexo.
  • Duas convenções comuns para \tilde V:
    1. Fasor de pico (amplitude): \tilde V = V_m e^{j\varphi}, com magnitude igual ao pico V_m.
    2. Fasor eficaz (RMS): \tilde V_{\text{rms}} = V_{\text{rms}} e^{j\varphi}, com V_{\text{rms}}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}.
  • Conversão entre formas:
    • Polar para retangular: V\angle\varphi = V(\cos\varphi + j\sin\varphi).
    • Retangular para polar: a+jb = \sqrt{a^2+b^2}\angle \operatorname{atan2}(b,a).
  • Observação prática para prova: se o enunciado pede apenas “o fasor”, confirme se quer o fasor de pico ou o fasor em RMS; muitos problemas de circuitos usam fasores em RMS. Aqui vou fornecer ambos.

Passo 3

Fasor no formato de amplitude (pico), forma polar:
  • A partir de v(t)=180\cos\!\left(\omega t+\dfrac{2\pi}{3}\right) identificamos V_m=180 e \varphi=\dfrac{2\pi}{3}.
  • Portanto o fasor de pico em forma polar é
\tilde V_{\text{pico}} = 180\angle \dfrac{2\pi}{3}.

Passo 4

Converter o fasor de pico para forma retangular (passo a passo):
  • Usar a fórmula V\angle\varphi = V(\cos\varphi + j\sin\varphi).
  • Calcular os valores trigonométricos conhecidos:
    \displaystyle \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) = -\tfrac{1}{2} e \displaystyle \sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Multiplicando por 180: \tilde V_{\text{pico}} = 180\left(-\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -90 + j\,90\sqrt{3}.

Passo 5

Fasor em valor eficaz (RMS), polar e retangular:
  • Primeiro calcular V_{\text{rms}}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{180}{\sqrt{2}}=90\sqrt{2}.
  • O fasor RMS em forma polar é
\tilde V_{\text{rms}} = 90\sqrt{2}\angle \dfrac{2\pi}{3}.
  • Converter para forma retangular usando os mesmos cosseno e seno: \tilde V_{\text{rms}} = 90\sqrt{2}\left(-\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -45\sqrt{2} + j\,45\sqrt{6}.

Resposta

\tilde V_{\text{pico}} = 180\angle \dfrac{2\pi}{3} = -90 + j\,90\sqrt{3}\n
\tilde V_{\text{rms}} = 90\sqrt{2}\angle \dfrac{2\pi}{3} = -45\sqrt{2} + j\,45\sqrt{6}

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