Considerando uma rede aérea monofásica de distribuição de energia de 500 metros, a soma das resistências ôhmicas dos condutores fase e neutro ® equivale a 0,870 ohm/km e a reatância indutiva (wL) equivale a 3,18 ohm/km. Considere que esta rede atende a um forno puramente resistivo de resistência R = 161 ohms. Considere ainda que a alimentação é dada por V(t) = 220 cos(377t) e que a corrente inicial seja nula.
a) Apresente a equação diferencial que associa a tensão de alimentação à corrente do circuito.
b) Apresente a solução homogênea para i(t).
a) Apresente a equação diferencial que associa a tensão de alimentação à corrente do circuito.
b) Apresente a solução homogênea para i(t).
Passo 1
Vou listar de forma clara os dados que o enunciado fornece e o que é pedido.
- Comprimento da rede:
. - Resistência ôhmica somada dos condutores (fase + neutro):
. - Reatância indutiva dada por
por quilômetro: . - Forno puramente resistivo com resistência
. - Tensão de alimentação:
. Logo . - Corrente inicial nula:
. - O enunciado pede:
(a) a equação diferencial que relacionacom ;
(b) a solução homogênea.
Passo 2
Calcular os valores elétricos para os
efetivos da linha.
- Resistência total da linha (fase+neutro) para
:
- Valor de
total da linha para :
- Para escrever a equação diferencial em termos de
(Henry), obtemos dividindo por :
- Resistência equivalente série total (linha + carga):
Passo 3
Montar a equação diferencial usando a lei das malhas (KVL) e as relações tensão-corrente dos elementos:
- Tensão no resistor:
. - Tensão no indutor:
. - Aplicando KVL: a tensão de fonte é igual à soma das quedas:
Substituindo
e os valores numéricos encontrados:
Essa é a equação diferencial do circuito no domínio do tempo.
Passo 4
Determinar a solução homogênea associada à equação diferencial (parte sem o termo forçante).
- Escrevendo a equação homogênea:
- Colocando na forma padrão:
- Resolver por separação de variáveis / integração:
- Exponenciando e escrevendo a constante de integração como
:
- Valor numérico da constante de decaimento (taxa) e da constante de tempo:
Observação rápida e útil: a condição inicial
impõe uma restrição quando se formar a solução completa (homogênea + particular), mas a solução homogênea geral é a apresentada acima com
arbitrário.