Considerando uma rede aérea monofásica de distribuição de energia de 500 metros, a soma das resistências ôhmicas dos condutores fase e neutro ® equivale a 0,870 ohm/km e a reatância indutiva (wL) equivale a 3,18 ohm/km. Considere que esta rede atende a um forno puramente resistivo de resistência R = 161 ohms. Considere ainda que a alimentação é dada por V(t) = 220 cos(377t) e que a corrente inicial seja nula.
a) Apresente a equação diferencial que associa a tensão de alimentação à corrente do circuito.
b) Apresente a solução homogênea para i(t).

Passo 1

Vou listar de forma clara os dados que o enunciado fornece e o que é pedido.
  • Comprimento da rede: 500\\ \text{m} = 0{,}5\\ \text{km}.
  • Resistência ôhmica somada dos condutores (fase + neutro): R_{\text{linha, por km}} = 0{,}870\\ \Omega/\text{km}.
  • Reatância indutiva dada por \omega L por quilômetro: (\omega L)_{\text{por km}} = 3{,}18\\ \Omega/\text{km}.
  • Forno puramente resistivo com resistência R_{\text{carga}} = 161\\ \Omega.
  • Tensão de alimentação: V(t)=220\cos(377t). Logo \omega = 377\\ \text{rad/s}.
  • Corrente inicial nula: i(0)=0.
  • O enunciado pede:
    (a) a equação diferencial que relaciona V(t) com i(t);
    (b) a solução homogênea i_h(t).

Passo 2

Calcular os valores elétricos para os 0{,}5\\ \text{km} efetivos da linha.
  • Resistência total da linha (fase+neutro) para 0{,}5\\ \text{km}:
R_{\text{linha}} = 0{,}870\\ \frac{\Omega}{\text{km}}\times 0{,}5\\ \text{km} = 0{,}435\\ \Omega.
  • Valor de \omega L total da linha para 0{,}5\\ \text{km}:
(\omega L)_{\text{total}} = 3{,}18\\ \frac{\Omega}{\text{km}}\times 0{,}5\\ \text{km} = 1{,}59\\ \Omega.
  • Para escrever a equação diferencial em termos de L (Henry), obtemos L dividindo por \omega:
L = \frac{(\omega L)_{\text{total}}}{\omega} = \frac{1{,}59}{377}\\ \text{H} \approx 0{,}004217\\ \text{H}.
  • Resistência equivalente série total (linha + carga):
R_{\text{eq}} = R_{\text{linha}} + R_{\text{carga}} = 0{,}435 + 161 = 161{,}435\\ \Omega.

Passo 3

Montar a equação diferencial usando a lei das malhas (KVL) e as relações tensão-corrente dos elementos:
  • Tensão no resistor: v_R(t)=R_{\text{eq}}\,i(t).
  • Tensão no indutor: v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}.
  • Aplicando KVL: a tensão de fonte é igual à soma das quedas:
V(t)=R_{\text{eq}}\,i(t) + L\,\frac{di}{dt}.
Substituindo V(t)=220\cos(377t) e os valores numéricos encontrados:
0{,}004217\,\frac{di}{dt} + 161{,}435\,i(t) = 220\cos(377t).
Essa é a equação diferencial do circuito no domínio do tempo.

Passo 4

Determinar a solução homogênea associada à equação diferencial (parte sem o termo forçante).
  • Escrevendo a equação homogênea:
L\,\frac{di_h}{dt} + R_{\text{eq}}\,i_h(t)=0.
  • Colocando na forma padrão:
\frac{di_h}{dt} = -\frac{R_{\text{eq}}}{L}\,i_h(t).
  • Resolver por separação de variáveis / integração:
\int \frac{1}{i_h}\,di_h = -\frac{R_{\text{eq}}}{L}\int dt \quad\Rightarrow\quad \ln|i_h| = -\frac{R_{\text{eq}}}{L}t + C.
  • Exponenciando e escrevendo a constante de integração como K:
i_h(t)=K\,\exp\!\Big(-\frac{R_{\text{eq}}}{L}t\Big).
  • Valor numérico da constante de decaimento (taxa) e da constante de tempo:
\frac{R_{\text{eq}}}{L}\approx \frac{161{,}435}{0{,}004217}\approx 3{,}83\times10^{4}\\ \text{s}^{-1}, \qquad \tau=\frac{L}{R_{\text{eq}}}\approx 2{,}61\times10^{-5}\\ \text{s}.
Observação rápida e útil: a condição inicial i(0)=0 impõe uma restrição quando se formar a solução completa (homogênea + particular), mas a solução homogênea geral é a apresentada acima com K arbitrário.

Resposta

0{,}004217\,\frac{di}{dt} + 161{,}435\,i(t) = 220\cos(377t).
i_h(t)=K\,\exp\!\Big(-\frac{161{,}435}{0{,}004217}\,t\Big)\approx K\,e^{-3{,}83\times10^{4}t}.

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