Inequação Modular

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre inequações modulares e como resolver exercícios envolvendo esses caras.

Tá preparado? Então vem comigo 😆

Veja também

O que é uma Inequação Modular?

As inequações modulares que a gente vai ver são expressões que envolvem sinais de desigualdade e incógnitas dentro de módulos. Mais ou menos assim ó:

Pra entender o que vamos discutir aqui, é extremamente importante que você esteja dominando aquela definição clássica do módulo de um número!

Se tiver se esquecido, vale refrescar a memória:

Belezinha? Com base nisso aí, saca esse exemplo:

Com essa definição, a gente consegue formalizar aquela noção de que “módulo é só desconsiderar o sinal”.

Tranquilo?

Vamos pensar no módulo como distância pra facilitar as coisas. Da seguinte forma:

O quer dizer “distância do número 5 até o zero”. Pensa numa reta com os números como unidades de distância, a distância do 5 até o 0 só pode ser 5, concorda?

Representação do módulo como distância.
Representação do módulo como distância.

Só que existe um outro número na reta real que tem exatamente essa mesma distância até o 0. Consegue adivinhar qual é?

Representação do módulo como distância.
Representação do módulo como distância.

Isso mesmo! É o .

Agora vamos um pouquinho além 😉

Se eu te falar que o módulo de é maior do que , quer dizer que a distância de até 0 é maior que 5, concorda?

Só que, de novo, existe um número lá do lado dos negativos que vai ter a mesma distância que .

Observando essa reta aí, a gente pode concluir duas coisas:

Agora, vamos pensar nesse caso aqui:

Dessa vez, a distância entre e zero é menor que 5. Olha onde o deve estar na reta:

Então a gente pode dizer isso aqui:

Maravilha! Se você entendeu isso aí, já estamos com 80% do caminho andado 😆

Repara que antes eu circulei um “ou”, ali em cima. Mas dessa vez apareceu um “e”. Isso não é arbitrário não viu? Já te explico na próxima parte.

Antes de prosseguirmos, se você ainda ficou com dúvida, confere esse vídeozinho aqui com uma explicação bem detalhada 👇

Agora, vamos ver como resolver uma inequação modular de fato.

Como resolver uma inequação modular

A gente vai dividir as resoluções em dois casos: módulo menor que um número e módulo maior que um número. Tal como mostrei aí em cima.

Caso 1: Módulo menor que um número

Esse caso tem essa carinha aqui:

Da mesma forma que fizemos anteriormente, a distância de todo aquele termo ali do lado direito até o zero vai ser menor que 4. Então, a gente procede assim:

E aí resolvemos uma inequação de cada vez. Se liga:

Agora a outra:

Beleza! Agora é só juntar as duas respostas!

Caso 2: Módulo maior que um número

Dessa vez, a gente tem algo desse tipo aqui:

Então, a gente vai ter duas expressões, tal como fizemos lá no começo:

Olha aquele ou aí de novo! Ele tá aí pra mostrar que a nossa solução nesse caso aqui vai ser a união de dois intervalos, e não mais a interseção 😁

Em sequência, vamos resolver a primeira inequação:

E a segunda:

Logo, a solução é:

Belezinha?

Então bora complicar um pouquinho mais com nossos exercícios resolvidos passo a passo ☺️

Como resolver uma inequação modular

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva as inequações modulares abaixo:

  1. x > 6
  2. x ≤ 17

Passo 1

Vamos lá!!! Na letra (a) precisamos calcular a inequação

x > 6

Quando temos uma inequação do tipo

f x > a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) > a e - a > f x

Beleza?!

Assim, para a inequação

x > 6

Teremos

x > 6 ou - 6 > x

Ou seja, o nosso conjunto solução é

S = x ∈   R |   x < - 6   o u   x > 6

Passo 2

Na letra (b) precisamos calcular a inequação

x ≤ 17

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≤ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≤ a e - a ≤ f x

Assim, para a inequação

x ≤ 17

Teremos

x ≤ 17 e - 17 ≤ x

Portanto, o nosso conjunto solução é

S = x ∈   R | - 17 ≤ x ≤ 17

Beleza?!

Resposta

  1. S = x ∈   R |   x < - 6   o u   x > 6
  2. S = x ∈   R | - 17 ≤ x ≤ 17

Exercício Resolvido #2

Resolva a inequação modular

3 x + 4 ≤ 2

Passo 1

Vamos lá!!! Queremos resolver a inequação modular

3 x + 4 ≤ 2

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≤ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≤ a e - a ≤ f x

Beleza?!

Passo 2

Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos

3 x + 4 ≤ 2 e - 2 ≤ 3 x + 4

Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a interseção das duas!

Primeiro resolvendo

3 x + 4 ≤ 2

Isolando x , temos

3 x ≤ 2 - 4

3 x ≤ - 2

x ≤ - 2 3

Agora resolvendo a segunda inequação

- 2 ≤ 3 x + 4

Isolando o x

- 6 ≤ 3 x

- 6 3 ≤ x

- 2 ≤ x

A nossa solução será a interseção

- 2 ≤ x ≤ - 2 3

Resposta

- 2 ≤ x ≤ - 2 3

Exercício Resolvido #3

Resolva a inequação modular abaixo

x + 10 ≥ 4

Passo 1

Vamos lá!!! Queremos resolver a inequação modular

x + 10 ≥ 4

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≥ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≥ a ou - a ≥ f x

Beleza?!

Passo 2

Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos

x + 10 ≥ 4 ou - 4 ≥ x + 10

Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a união das duas!

Primeiro resolvendo

x + 10 ≥ 4

Isolando x , temos

x ≥ 4 - 10

x ≥ - 6

Agora resolvendo a segunda inequação

- 4 ≥ x + 10

Isolando o x

- 4 - 10 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário

x ≤ - 14

A nossa solução será

x ≤ - 14 ou x ≥ - 6

Resposta

x ≤ - 14 ou x ≥ - 6

Exercício Resolvido #4

Qual o conjunto solução da inequação abaixo

x + 10 ≤ - 4

  1. S = x ∈   R |   x < - 2 5   o u   x > 2 5
  2. S = x ∈   R |   - 2 5   ≤ x ≤ 2 5
  3. S = ∅
  4. S = x ∈   R |   - 2 5   ≤ x

Passo 1

Eitaaaa! Pode ser que o pensamento aqui seja utilizar o método que aprendemos para resolver esse tipo de inequação, certo?! Mas aqui não podemos utilizar o método que vimos....

Se você reparar, o valor numérico que se encontra do lado direito da desigualdade é menor que zero, ou negativo! O módulo de qualquer número real jamais pode ser negativo!

Portanto, não existe nenhum valor de que possa satisfazer essa inequação, e a solução para o exemplo só pode ser dada através do conjunto vazio.

Assim, nosso conjunto solução

S = ∅

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #5

Resolva a inequação modular abaixo

x + 110 ≥ 140

Passo 1

Opaaa! Queremos resolver a inequação modular

x + 110 ≥ 140

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≥ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≥ a ou - a ≥ f x

Beleza?!

Passo 2

Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos

x + 1 1 0 ≥ 140 ou - 140 ≥ x + 1 1 0

Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a união das duas!

Primeiro resolvendo

x + 1 1 0 ≥ 1 4 0

Isolando x , temos

x ≥ 1 4 0 - 1 1 0

x ≥ 30

Agora resolvendo a segunda inequação

- 1 4 0 ≥ x + 1 1 0

Isolando o x

- 1 4 0 - 1 1 0 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário

x ≤ - 250

A nossa solução será

x ≤ - 250 ou x ≥ 30

Resposta

x ≤ - 250 ou x ≥ 30

Exercício Resolvido #6

Resolva a seguinte inequação abaixo

5 x + 2 ≥ 2

Passo 1

Bem esse nosso exercício é de inequação, porque tem o sinal de desigualdade ali dentro. Repara que temos um módulo junto, então essa é aquele tipo de inequação que vimos na teoria, lembra como fica? Temos que achar duas inequações, como o sinal é de maior ou igual, temos que fazer as seguintes inequações

5 x + 2 ≥ 2 o u - 2 ≥ 5 x + 2

Aí pegamos a união desses intervalos da solução.

Vamos começar com a primeira inequação

5 x + 2 ≥ 2

5 x ≥ 0

Então

x ≥ 0

Passo 2

Vamos agora para a segunda inequação, que vai ser

- 2 ≥ 5 x + 2

- 4 ≥ 5 x

- 4 5 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário,

x ≤ - 4 5

E a nossa solução vai ser

x ≥ 0 o u x ≤ - 4 5

Resposta

x ≥ 0 o u x ≤ - 4 5

Exercício Resolvido #7

Determine a solução da inequação abaixo

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1

Passo 1

Aqui de novo temos uma inequação com módulo, dessa vez é uma função de segundo grau ali dentro, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.

Vamos entender isso como a inequação módular com menor ou igual, vamos ter duas inequações abaixo

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1 e - 1 ≤ x 2 + 5 x + 5

Temos que pegar a interseção das soluções duas inequações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1

Arrumando isso vamos ter

x 2 + 5 x + 4 ≤ 0

Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de 2 º grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que 0 .

A função de 2 º grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser

x = - 5 ± 25 - 16 2 = - 5 ± 9 2 = - 5 ± 3 2

Assim temos

x 1 = - 4

x 2 = - 1

O gráfico vai ser

Então a nossa função vai ser negativa entre - 4 a - 1 e positiva no resto.

Como ele quer a parte negativa a solução dessa nossa inequação vai ser

- 4 ≤ x ≤ - 1

Passo 3

Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter

- 1 ≤ x 2 + 5 x + 5

Arrumando isso vamos ter

x 2 + 5 x + 6 ≥ 0

Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de 2 º grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que 0 .

A função de 2 º grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser

x = - 5 ± 25 - 24 2 = - 5 ± 1 2 = - 5 ± 1 2

As soluções vão ser

x 1 = - 3

x 2 = - 2

O seu gráfico vai ficar

Então a nossa função vai ser negativa entre - 3 a - 2 e positiva no resto.

Como ele quer a parte positiva da solução dessa nossa inequação vai ser

x ≥ - 2 o u x ≤ - 3

Passo 4

A nossa solução vai ser a interseção das suas soluções que achamos antes

- 4 ≤ x ≤ - 1 e x ≥ - 2 o u x ≤ - 3

Assim a interseção dessa parada vai ser

- 4 ≤ x ≤ - 3 o u - 2 ≤ x ≤ - 1

Resposta

- 4 ≤ x ≤ - 3 o u - 2 ≤ x ≤ - 1

Exercício Resolvido #8

Determine a solução na inequação abaixo

x + 3 x - 2 ≤ 2 x + 2

Passo 1

De novo caímos naquela situação de inequações modulares com dois módulos, podemos resolver daquela forma que fizemos nos exercícios anteriores, mas é mais fácil dar uma manipulada nisso e transformar em um módulo só. Diferente do outro exercício que é mais tranquilo fazer da forma tradicional.

Vamos começar arrumando isso do lado direito,

x + 3 x - 2 ≤ 2 x + 2

Vamos passar aquele módulo de x + 2 para a esquerda multiplicando, mas lembrando que ele nunca pode ser 0 , assim já temos que excluir da nossa solução o x = - 2 , mais tarde vamos relembrar desse detalhe que vai ser importante.

Passando ele para o outro lado vamos ter

x + 3 x + 2 x - 2 ≤ 2

Arrumando isso

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2

E passamos a ter um único módulo. Aqui temos a inequação modular menor ou igual, assim temos que achar a interseção das soluções das inequações abaixo

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2 e - 2 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2

Passando o 2 para esquerda

x 2 + 5 x + 6 x - 2 - 2 ≤ 0

Temos que juntar essa parada toda

x 2 + 5 x + 6 - 2 x + 4 x - 2 ≤ 0

x 2 + 3 x + 10 x - 2 ≤ 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 ± - 31 2

Isso nos diz que essa função não tem raízes, o seu gráfico vai ficar

Podemos ver que ele sempre vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo negativa, então vamos pegar a parte menor que 2

x < 2

Repara que a expressão tem menor ou igual, e aqui eu só coloquei menor. Isso porque o 2 é raiz do denominador, e ele não pode ser 0 , então precisamos excluir o 2

Passo 3

Vamos para a segunda inequação

- 2 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passando o - 2 para direita

0 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2 + 2

Temos que juntar essa parada toda, e vamos escrever com o sinal ao contrario da desigualdade

x 2 + 5 x + 6 + 2 x - 4 x - 2 ≥ 0

x 2 + 7 x + 2 x - 2 ≥ 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 7 ± 49 - 8 2 = - 7 ± 41 2

Isso nos diz que essa função tem duas raízes,

x 1 = - 7 + 41 2

E

x 2 = - 7 - 41 2

O seu gráfico vai ficar

Podemos ver que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo positiva, então vamos pegar

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2 o u x > 2

Aqui de novo temos que excluir o 2 , pelo mesmo motivo de antes, ele é raiz do denominador

Passo 4

Agora temos a solução de cada uma dessas inequações, a parada é achar a interseção dessas duas soluções

x < 2 e - 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2 o u x > 2

Assim, a nossa solução vai ser entre aqueles cara bonitinhos,

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2

Resposta

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2

Exercício Resolvido #9

Resolva para x e represente a solução na reta numérica

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

Passo 1

Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:

x 2 - 5 x = - x 2 - 5 x 0 ≤ x ≤ 5 x 2 - 5 x x < 0   e   x > 5

Para os demais:

x = x x ≥ 0 - x x < 0

E:

5 x = 5 x x ≥ 0 - 5 x x < 0

Juntamos os intervalos, obtemos três intervalos onde as funções mudam:

x < 0

0 < x < 5

x > 5

Vamos testar para cada um deles.

Passo 2

Para x < 0 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = - x

5 x = - 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < - x 2 - - 5 x

x 2 - 5 x < x 2 + 5 x

Ou seja:

- 5 x < 5 x → 0 < 10 x → x > 0

Como encontramos que a solução deve ser x > 0 dentro do intervalo x < 0 , não teremos solução nesse caso.

Passo 3

Para 0 < x < 5 :

x 2 - 5 x = - ( x 2 - 5 x )

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

- ( x 2 - 5 x ) < x 2 - 5 x

x 2 - 5 x > 5 x - x 2

Ou seja:

2 x 2 - 10 x > 0

x 2 - 5 x > 0

Que será maior que zero para x < 0 e x > 5 .

Como encontramos que a solução deve ser x < 0 ou x > 5 dentro do intervalo 0 < x < 5 , não teremos solução nesse caso.

Passo 4

Para x > 5 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

0 < 0

Que não é verdade para nenhum valor de x , ou seja, x > 5 não satisfaz a inequação. Portanto, não teremos solução para a nossa inequação x 2 - 5 x < x 2 - 5 x . Representaremos o conjunto solução como o conjunto vazio:

S = ∅

Resposta

S = ∅

Exercício Resolvido #10

( a ) Determine o valor de a e b de forma que o conjunto S = ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 5 , ∞ ) seja a solução da inequação 3 x - a > b .

Passo 1

Vamos resolver a inequação modular:

3 x - a > b

3 x - a > b     ;   3 x - a < - b

3 x > b + a     ;   3 x < - b + a

x > b + a 3     ;   x < - b + a 3

Passo 2

A solução dada S diz que x < 1 e x > 5 . Dessa forma, os valores de b e a devem satisfazer às seguintes igualdades para que S seja a solução da inequação:

b + a 3 = 5 - b + a 3 = 1

b + a = 15 - b + a = 3    

2 a = 18 → a = 9

b = 6

Resposta

a = 9 ; b = 6

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Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real 3 x + 2 ≥ 1 .
Use um gráfico para encontrar um número δ tal quese x - π 4δ então x- 10,2
Resolva as inequações.|2 x - 3|3